| 研究課題/領域番号 |
21K03156
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分11010:代数学関連
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| 研究機関 | 大阪大学 (2023)
京都大学 (2021-2022) |
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研究代表者 |
三浦 真人 大阪大学, 大学院理学研究科, 招へい研究員 (10714082)
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| 研究期間 (年度) |
2021-04-01 – 2026-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2023年度)
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| 配分額 *注記 |
3,900千円 (直接経費: 3,000千円、間接経費: 900千円)
2025年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
2024年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
2023年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
2022年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
2021年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
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| キーワード | カラビ・ヤウ超曲面 / 幾何転移 / コニフォルド転移 / トーリック多様体 / ミラー対称性 / カラビ・ヤウ多様体 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
カラビ・ヤウ多様体は超弦理論においては時空のモデルとして、代数幾何においては分類問題の帰着先として重視される高次元の図形である。カラビ・ヤウ多様体が全体としてどのように分布しているのかという問題は、重要な未解決問題だ。
既知のカラビ・ヤウ多様体のデータからは、半オイラー数（オイラー数の半分、素粒子の世代数に相当）の偶奇にはっきりとした偏りが観察される。半オイラー数が偶数であるようなカラビ・ヤウ多様体の方が多いのだ。これはなぜなのだろうか。本研究では、現状最大のデータベースを与えており、素性もよく分かっている「トーリック多様体のカラビ・ヤウ超曲面」というクラスにおいて、この偏りの理由を突き止める。
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| 研究実績の概要 |
カラビ・ヤウ多様体のオイラー数の分布に関する研究成果を城崎代数幾何学シンポジウムでポスター発表し、秋の数学会でも発表した。また、研究成果を可視化するwebアプリケーションを2つ作成し公開した。現在は2本の論文を執筆中である。
具体的には、トーリック多様体の超曲面カラビ・ヤウ多様体の幾何転移について研究している。この研究は、サルキソフ・プログラムのアナロジーを多面体や超曲面カラビ・ヤウ多様体に適用するという視点を導入することで、新たな展開が開けた。とくに、標準的・端末的多角形の大域連結性や、1次元の超曲面カラビ・ヤウ多様体に関するリードの空想のアナロジーなどを証明することができた。これらの成果はプレプリントに公開済みである。今回、前者の成果を可視化するSolocatというwebアプリケーションを作成した。Solocatでは多角形を直観的に操作してその大域連結性を観察することができる。一方、このソフトウェアを3次元・4次元に拡張することで、数値実験を行うというのが、現在計画中の一つのアプローチである。その際、課題となるのは計算処理の複雑さである。そこでコンピュータを新調し、この課題に挑戦している。後者のカラビ・ヤウ多様体のリードの空想に関しては、具体例を検討するアプローチを採っている。例外型グラスマン多様体の完全交叉カラビ・ヤウ多様体に関する論文を改訂し、ホッジ数の分布を可視化するwebアプリケーションを公開した。ピカール数が2のカラビ・ヤウ多様体の幾何転移からは、導来同値との非自明な関係が示唆されている。こうした観点から、最近発見されて興味深いクラスである一般化されたカラビ・ヤウ超曲面完全交叉というクラスの例についても研究を進めている。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
1次元の場合は解決しており、2次元以上を取り扱う際の課題も詳しく見えてきた。また、3次元の具体例の計算が増えてきたために、研究の幅が広がっている。
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| 今後の研究の推進方策 |
現在までに得られた成果を論文にまとめて公表・出版する。
カラビ・ヤウ多様体の分布の実態をさらに深く調べ、本研究の目的である半オイラー数の偏りの理由を何とか突き止めたい。
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