| 研究実績の概要 |
正標数pの代数閉体上の非特異5次del Pezzo曲面Xの反標準束をL＝O_X(-K)とするとき，非負整数n,eに対してn重反標準束L^n＝O_X(-nK)のe次Frobenius直像(F^e)_*(L^n)は階数q^2のベクトル束である．ただし，q＝p^eとおいた．このFrobenius直像を直既約ベクトル束の直和に分解する際に現れる直和因子の同型類が，Lによるtwistを法として高々有限個であることがMalloryによって証明されているが（Xの反標準環のFFRT性)，具体的にどのようなベクトル束がFrobenius直像の直和因子として現れるかという問題は未解決であり，この問題に対する解答を与えることが本研究の目的の一つである．
現在までのところ，標数p＝2,3の場合にはFrobenius直像(F^e)_*(L^n)の構造を解明したが，標数p≧5においては，p＝3の場合と同様の結果が期待されるものの，未だ構造解明には至っていない．本年度は，いくつかの標数における計算例の検証から，一般の場合の構造解明の糸口となると期待される次の予想を得た．ただし，F_{1,1,1/2}とGは本研究とその先行研究において得られたX上の直既約ベクトル束で，F_{1,1,1/2}は階数3の自己双対束，Gは階数2のベクトル束でその双対が，Xの(2,5)-Grassmann多様体への埋め込みによる普遍商束の引き戻しとなるものである．また，Xを射影平面の4点爆発として構成するとき，射影平面上の直線のXへの引き戻しをH，4本の例外曲線の和をEとする．
【予想】pが奇素数で，(q－1)/3≦n≦(q－1)/2とする．Frobenius直像(F^e)_*(L^n)の直和分解におけるF_{1,1,1/2}の重複度をf, G(H-E)の重複度をgとするとき，f＋g＝(3n－q＋1)(3n－q＋2)/2が成り立つ．
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