リジッド幾何学における基礎研究

• 研究課題/領域番号: 21K03161
• 研究種目: 基盤研究(C)
• 配分区分: 基金
• 応募区分: 一般
• 審査区分: 小区分11010:代数学関連
• 研究機関: 名古屋大学
• 研究代表者: 藤原 一宏 名古屋大学, 多元数理科学研究科, 教授 (00229064)
• 研究期間 (年度): 2021-04-01 – 2026-03-31
• 研究課題ステータス: 交付 (2023年度)
• 配分額: 4,030千円 (直接経費: 3,100千円、間接経費: 930千円); 2025年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円); 2024年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円); 2023年度: 650千円 (直接経費: 500千円、間接経費: 150千円); 2022年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円); 2021年度: 650千円 (直接経費: 500千円、間接経費: 150千円)
• キーワード: リジッド幾何学 / 数論幾何学 / パーフェクトイド / 非アルキメデス的バナッハ環 / 平坦性 / エタール射 / 平坦射

研究開始時の研究の概要

この研究は数学の理論研究である.
研究代表者は数学の中でも数論, 数論幾何, 可換環論に関係する領域を研究している.
この計画ではその分野に現れる重要な数学的対象であるリジッド空間やパーフェクトイド空間の族を扱い,数論の立場から特に重要であるモジュライ空間の研究に繋げることを目標とする. 特に, 族を考える際に必要な射の性質の基礎研究を行う.
この研究は研究代表者が従来から発展させている「リジッド幾何学は形式幾何学から作られた双有理幾何学である」という視点に基づき行われ, パーフェクトイド空間もこの観点から研究される.
また, 研究は国際的な協力関係に基づき行われる.

研究実績の概要

2023年度は前年度に引き続きリジッド幾何学の基礎的な問題を取り扱っている. この研究課題では特に平坦射の研究を重視している. 前年度までに形式スキームの射に対する Gruson-Raynaud 型定理 (底空間の blow up による良いモデルの存在)が平坦射の場合に得られていた. 今年度は始空間の blow up により平坦性がどう変化するかを主として考察した. この問題が解決すれば リジッド空間の射の平坦性が理想的な形で定義されることになるが, 完全な形での解決には至らなかった. 部分的な成果は得られているため, この方向の研究を継続したいと考えている. より具体的には, 完全交差の場合の Gruson-Raynaud 型定理が鍵を握っていると考えられるため, 完全交差射について既に得られている知見を元に発展させていけると期待している.
研究体制としては昨年度同様 RA を雇用し, 得られた成果を楕円曲線などの J. Lurie の意味でのモジュライスタックに適用する可能性についても考察を進めてきた. 楕円曲線のモジュライの cusp における挙動は, 古典的な場合では Tate curve 構成により作られた形式近傍の候補をモジュライに貼り合わせることでコンパクト化を構成し研究する手法がとられている.
この構成を Lurie の意味での derived algebraic geometry で行うにあたり, M. Artin の contraction theorem の類似が重要になるが, ここではリジッド幾何学におけるエタール射の理論が重要な手がかりを与えると考えている.
簡単ではあるが非自明なモデルであると考えているので, この方向の考察も続けていく予定である.

現在までの達成度 (区分)

3: やや遅れている

理由

昨年度から公表準備を進めてきたが, 今年度は具体的な成果発表までに至らなかった.
準備は継続中であり, まず 2024年度に研究集会における発表を予定している.

今後の研究の推進方策

まだ成果公表が十分進んでいないので, その点に注意して進めていく.
2024年度には研究集会における発表を予定しているので, 具体的な進展があると考えている.