リジッド幾何学における基礎研究

• 研究課題/領域番号: 21K03161
• 研究種目: 基盤研究(C)
• 配分区分: 基金
• 応募区分: 一般
• 審査区分: 小区分11010:代数学関連
• 研究機関: 名古屋大学
• 研究代表者: 藤原 一宏 名古屋大学, 多元数理科学研究科, 教授 (00229064)
• 研究期間 (年度): 2021-04-01 – 2026-03-31
• 研究課題ステータス: 交付 (2022年度)
• 配分額: 4,030千円 (直接経費: 3,100千円、間接経費: 930千円); 2025年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円); 2024年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円); 2023年度: 650千円 (直接経費: 500千円、間接経費: 150千円); 2022年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円); 2021年度: 650千円 (直接経費: 500千円、間接経費: 150千円)
• キーワード: リジッド幾何学 / 数論幾何学 / パーフェクトイド / 非アルキメデス的バナッハ環 / 平坦性 / エタール射 / 平坦射

研究開始時の研究の概要

この研究は数学の理論研究である.
研究代表者は数学の中でも数論, 数論幾何, 可換環論に関係する領域を研究している.
この計画ではその分野に現れる重要な数学的対象であるリジッド空間やパーフェクトイド空間の族を扱い,数論の立場から特に重要であるモジュライ空間の研究に繋げることを目標とする. 特に, 族を考える際に必要な射の性質の基礎研究を行う.
この研究は研究代表者が従来から発展させている「リジッド幾何学は形式幾何学から作られた双有理幾何学である」という視点に基づき行われ, パーフェクトイド空間もこの観点から研究される.
また, 研究は国際的な協力関係に基づき行われる.

研究実績の概要

2022年度は前年度に引き続きリジッド幾何学の基礎的な問題を取り扱っている. この研究課題では特に平坦射の研究を重視しており, 前年度までの研究結果の執筆を中心に研究を続けている. 研究の途上, 平坦射について以下の問題が現れたので今年度は主としてその問題を考察することとなった.
リジッド幾何学においては形式スキームによる良いモデルをとり射に関する概念を定義することとなるが, 定義が well-defined であるためにはモデルを変更した際に再び良いモデルを選択できることを示す必要がある(blow up による不変性). 平坦射の場合の普遍性は正しいと予想され, ネーター性など強い有限性がある場合は解決済みであるが, 一般の場合は詳細を詰めている状況である.
また, 以上の平坦性に関する問題と直接関係するものではないが, スキームとその完備化上の連接層のなす圏の間の関係を記述する「存在定理」についても再検討を行った (加藤文元等との共同研究). 対となるものとして既に確立されている「比較定理」があり, 連接層を完備化する関手が充満忠実であることが従うが, 「存在定理」は関手が本質的に全射であること意味している. 以前に得られた結果を補足する内容であり, 現在使用できる枠組みの中では最も一般的なものとなる. またこの結論は発表済みのresearch monograph の内容を補うものとなっている. 現在発表準備中である.
研究体制としては2022年度から RA を雇用し, 得られた成果を楕円曲線などのモジュライスタックに適用する可能性について考察を進めている.

現在までの達成度 (区分)

3: やや遅れている

理由

基本的な内容を確立する必要があるため慎重に論文を準備しているが, 想定より原稿が長くなり公表が遅れているため.
関連研究を同時に行なっているため内容としては進展している.

今後の研究の推進方策

前年度同様成果を確立することに力点を置くが, 研究交流を通して応用も視野に入れていきたい.
成果公表が十分進んでいないので, その点に注意して進めていきたい.