| 研究課題/領域番号 |
21K03163
|
|---|
| 研究種目 |
基盤研究(C)
|
| 配分区分 | 基金 |
|---|
| 応募区分 | 一般 |
|---|
| 審査区分 |
小区分11010:代数学関連
|
|---|
| 研究機関 | 大阪大学 |
|---|
研究代表者 |
有木 進 大阪大学, 大学院情報科学研究科, 教授 (40212641)
|
|---|
| 研究期間 (年度) |
2021-04-01 – 2026-03-31
|
| 研究課題ステータス |
交付 (2022年度)
|
| 配分額 *注記 |
4,030千円 (直接経費: 3,100千円、間接経費: 930千円)
2025年度: 650千円 (直接経費: 500千円、間接経費: 150千円)
2024年度: 650千円 (直接経費: 500千円、間接経費: 150千円)
2023年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2022年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2021年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
|
|---|
| キーワード | 分解係数 / 暴表現型 / タウ傾有限性 / ヘッケ代数 / 分解行列 / 対称群 / シューア加群 |
|---|
| 研究開始時の研究の概要 |
ジョルダン標準形が複素数係数一変数多項式のなす環の表現論に他ならないことはよく知られている。現代の表現論は高度に発展しており、リー理論は数理物理ともつながる中心的な研究分野である。リー理論の中で有用な有限次元代数としてヘッケ代数があり、その表現論を明らかにすることはリー理論への応用上重要であり、抽象理論を具体的代数に適用したときどの程度有効であるかを確認するテストケースとしても意義が大きい。
|
| 研究実績の概要 |
昨年度の研究実施状況報告書に書いたように、ヘッケ代数の次数付分解係数のタウ傾有限性判定への応用を見出したので、本年度はこのアイデアをもとに沖縄科学技術大学院大学のSpeyer助教と共にA型ヘッケ代数のブロック代数のタウ傾有限性を研究した。タウ有限性はシューア加群の同型類の個数が有限であることと同値であり、そのため加群圏の広大部分圏の個数が有限であることとも同値になるから、暴表現型ブロック代数の研究にとって重要な結果である。最終的に、東アングリア大学のLyle講師を共同研究者に加えて、次の定理を得た。
[定理] Ａ型ヘッケ代数のブロック代数がタウ傾有限であるための必要十分条件は有限表現型になることである。
証明には現在までに知られている種々の分解係数に関する定理を活用する。本研究成果については論文をarXiv:2112.11148に公開し、現在投稿中である。
また、清華大学ヤウ数理科学センターのポスドク王起君と同済大学の宋林亮助教とともに円分ヘッケ代数のブロック代数の表現型を完全に決定した。さらに表現型が暴表現型でないときにブロック代数の構造がどうなるかも明らかにした。すなわち、暴表現型でないときは具体的な局所代数またはブラウアーグラフ代数に森田同値であることを示した。この結果により、暴表現型でないブロック代数の構造が明らかになったので、本研究計画にあるように暴表現型に集中して研究すればよいことになった。こちらの共著論文はarXiv:2302.14477に公開し、現在投稿中である。
|
| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
1: 当初の計画以上に進展している
理由
分解係数自体の新たな研究にはまだ踏み込めていないが、分解係数に関して現在までに得られている種々の定理を活用してA型ヘッケ代数のブロック代数のタウ有限性に関して決定的な結果を得たため。また、円分ヘッケ代数のブロック代数の表現型を完全に決定し、暴表現型以外のブロック代数の構造を明らかにした結果、暴表現型のブロック代数の分解係数等の研究に集中できる状況になったため。
|
| 今後の研究の推進方策 |
暴表現型の場合は加群圏全体を制御することは無理なので、Grothendieck群レベルの性質や特別な部分圏の研究に特化せざるを得ないことがよく知られているが、前者については分解係数の研究を進める。そのためには昨年度に引き続き現在進展しているp-標準基底の理論に関する論文の検討と考察を行う。後者の特別な部分圏については広大部分圏に注目して検討する。
|
