| 研究課題/領域番号 |
21K03165
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分11010:代数学関連
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| 研究機関 | 日本大学 (2023)
山口大学 (2021-2022) |
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研究代表者 |
大関 一秀 日本大学, 文理学部, 教授 (70445849)
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| 研究期間 (年度) |
2021-04-01 – 2025-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2023年度)
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| 配分額 *注記 |
3,900千円 (直接経費: 3,000千円、間接経費: 900千円)
2024年度: 1,170千円 (直接経費: 900千円、間接経費: 270千円)
2023年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
2022年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
2021年度: 650千円 (直接経費: 500千円、間接経費: 150千円)
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| キーワード | 可換環論 / 局所環 / ヒルベルト函数 / ヒルベルト係数 / Rees代数 / 随伴次数環 / Sally加群 / 重複度 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
本研究の目的は代数学の一分野である可換環論の発展を目指すものであり，ヒルベルト函数の理論を積極的に用いる点が特徴である。ヒルベルト函数とは，可換環やイデアルの構造を数値化する函数であり，それらの構造を解明・分類する際に非常に強力な武器となる。
現在，国内外の多くの可換環論研究者によって様々な切り口でヒルベルト函数の構造研究が実施されているが，本研究は，それらの中でも飛躍的な発展を遂げている「課題1：巴系イデアルのヒルベルト函数の挙動研究」および「課題2：第1および第2ヒルベルト係数による随伴次数環の分類（Sally加群の視点から）」を研究対象に絞り，集中的に問題解明に着手する。
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| 研究実績の概要 |
本研究は、代数学の可換環論の発展を目的とするものである。ヒルベルト函数とは、イデアルの構造を端的に表現するような函数であり、可換環論では、ヒルベルト函数を用いたイデアルの構造の分類が長きに亘り実施されてきた。本研究の目的は、ヒルベルト函数の理論を積極的に活用して、ネーター局所環に含まれる準素イデアルの構造を分類することにある。
当該年度は、前年度までの研究に引き続き、ヒルベルト函数による随伴次数環の構造研究を実施した。特に、第1オイラー標数によるイデアルの随伴次数環の深さの決定と、節減数や第1ヒルベルト係数によるStretchedイデアルの構造の解明について、細部の考察を行いながら研究成果の纏めを行った。その過程において、これまでは、小さい値の第1オイラー標数によって随伴次数環の深さの決定する為の十分条件のみ得られていたが、これを必要十分条件として完結させることが出来た。
また、当該年度の7月から日本大学文理学部の客員研究員として滞在しているHoang Le Truong氏（Institute of Mathematics, VAST・日本大学）との国際共同研究を定期的に実施した。その中で、正準イデアルのSally加群の構造や、第1および第2ヒルベルト係数の偏差によるネーター環の構造の決定といった新たな課題にも着手する運びとなった。
当該年度は、1件の報告集（査読無）による成果報告を行った。さらに４件の学会・研究集会における口頭発表を実施した。そのうち、1件が国際会議の招待講演であり、1件が国内セミナーでの招待講演であった。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
概要にて述べた通り、国際会議の招待講演を含めた4件の研究成果発表を行い、1件の報告集を発表した。前年度までの研究成果を深化発展させながらその内容を纏めると共に、国際共同研究による新たな課題に着手することが出来た。
以上の理由から、本研究はおおむね順調に進展していると考えられる。
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| 今後の研究の推進方策 |
Hoang Le Truong氏との国際共同研究を引き続き実施する。本年度から新たに着手した正準イデアルのSally加群の構造と第1および第2ヒルベルト係数の偏差に関する研究打ち合わせを定期的に実施する。氏は、令和6年7月に帰国予定であるが、帰国後もオンラインや海外出張にて議論を継続する予定である。
また、国内では早坂太氏（岡山大学）と遠藤直樹氏（明治大学）は、本研究対象であるイデアルの随伴次数環の構造に精通していることから、両氏との定期的なセミナーおよび研究打ち合わせについても、今後の本研究の推進方針の一つとして実施する。
得られた一連の研究内容を、日本数学会、可換環論シンポジウムといった国内の学会・研究集会で成果発表を行い、最終的には学術論文として国際数学専門雑誌に投稿する予定である。
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