| 研究課題/領域番号 |
21K03170
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分11010:代数学関連
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| 研究機関 | 中央大学 |
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研究代表者 |
渡辺 究 中央大学, 理工学部, 准教授 (20638176)
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| 研究期間 (年度) |
2021-04-01 – 2025-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2023年度)
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| 配分額 *注記 |
2,860千円 (直接経費: 2,200千円、間接経費: 660千円)
2024年度: 650千円 (直接経費: 500千円、間接経費: 150千円)
2023年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2022年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2021年度: 390千円 (直接経費: 300千円、間接経費: 90千円)
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| キーワード | Fano多様体 / 擬指数 / 接束 / ネフ / 外積 / ファノ多様体 / 等質多様体 / 有理連結多様体 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
連立代数方程式の解の集合の貼り合わせとして定まる図形を「代数多様体」という．また，代数多様体という図形の接空間から「接束」という幾何学的対象が定まる．本研究では，接束の正値性の観点から代数多様体の構造を研究する．
この研究は森重文のHartshorne予想の解決に端を発する．森の結果の一般化として，複素幾何学では正則双断面曲率の正値性から，代数幾何学では接束の正値性から多様体の構造研究がなされてきた．それらの歴史背景を踏まえて，接束の正値性の観点から，リーマン面の一意化定理を高次元化することを目指す．
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| 研究実績の概要 |
反標準因子-K_Xが豊富な非特異射影多様体 X を Fano多様体という．n次元非特異Fano 多様体 X について，Fano指数 iX と 擬指数ιXと呼ばれる 2 つの不変量が知られている．定義により，ιXはiXの倍数である．n－2以上のFano指数を持つn次元非特異Fano 多様体の分類は古典的に知られている．一方，擬指数が大きい非特異Fano 多様体の分類問題はより難しい問題として知られている．森理論により，n次元非特異Fano 多様体 X について，ιX \leq n+1 であることが知られており，Cho-Miyaoka-Shepherd Barron の定理により X が射影空間 P^n と同型である場合にのみ等式が成り立つ．さらに、Dedieu-H ̈oringの定理によれば，ιX= n の場合，X は非特異２次超曲面 Q^n と同型であることが分かる．一方，n－1 および n－2 の擬指数を持つn次元非特異Fano多様体の分類は未解決である．本研究において， X上の非自由有理曲線の反標準次数の最小値として不変量 τX を導入し，τXがn-2以上の Fano 多様体の収縮射の研究を行なった．その系として，擬指数が n-2以上かつPicard数が2以上のn次元非特異Fano 多様体の分類を得た．この結果は様々な先行結果の一般化とみなすことができる．さらに，擬指数が(n+1)/2かつPicard数が2以上のn次元非特異Fano 多様体の分類を得た．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
当初、接束の外積がネフであるようなFano多様体の構造研究を目標としていたが、その研究過程により、より一般的なFano多様体の分類を得ることができた。その点は当初の計画以上に進展している。一方、ネフ接束をもつFano多様体の構造研究については十分な結果が得られていない。総合的に鑑みると順調に進展している。
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| 今後の研究の推進方策 |
擬指数の大きい Fano多様体の構造研究を行う。今までと同様、有理曲線の変形理論と極小モデル理論の基本事項を用いて行う。他方、ネフ接束をもつFano多様体の構造研究についても同様に行う。ネフ接束をもつFano多様体は等質多様体であることが期待されている。特に接束がネフかつ巨大な場合を研究したい。
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