| 研究課題/領域番号 |
21K03176
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分11010:代数学関連
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| 研究機関 | 東京海洋大学 |
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研究代表者 |
茂木 康平 東京海洋大学, 学術研究院, 准教授 (30583033)
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| 研究期間 (年度) |
2021-04-01 – 2025-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2023年度)
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| 配分額 *注記 |
3,120千円 (直接経費: 2,400千円、間接経費: 720千円)
2023年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
2022年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
2021年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
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| キーワード | 可積分系 / 対称関数 / K理論 / 可解確率過程 / 可解格子模型 / 恒等式 / 四面体方程式 / 頂点作用素 / 量子可積分系 / 旗束 / 楕円可積分系 / 量子代数 / 数え上げ幾何 / 表現論 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
可積分系及び量子代数の手法を深めることで、対称関数、数え上げ幾何の研究を行う。
Weight関数やGelfand-Tsetlin基底は元々、量子可積分系や関連する代数解析、表現論の分野で導入されたものであるが、近年、数え上げ幾何における幾何学的基底という意味付けがされるようになり、重要性を増している。これらの対称関数やその特殊化及び、退化であるSchubert/Grothendieck多項式の量子逆散乱法からの研究を行う。例えばYang-Baxter代数による種々の恒等式やノルム公式の導出、旗束の押し出し公式への応用である。
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| 研究実績の概要 |
可解確率過程、ソース恒等式、四面体方程式と対称関数、特殊関数に関する研究を行った。(1)ソース恒等式は有理関数の間に成り立つ関係式であり、可積分系、超幾何関数との関連も深いものである。このうち、野海、三町、キリロフ、梶原らによって導入されたものについて、大川領氏と共同研究を行った。ソース恒等式で現れる有理関数は可積分系の文献を読むと、様々な行列式表示を持つことがわかるが、統一的な理解の方法はなかった。野海、梶原らの差分作用素を作用させる表示に一旦戻ることで、それらの表示を有理、三角に復元、拡張し、更に楕円類似をえることができた。例えばこの方法により、最近導入されたタラソフ、プロンコらの表示、またスラフノフ、ベリアールらの表示の楕円版を導入することができた。また、大川氏によって最近定式化された壁越え公式をある箙の場合に適用することで、ソース恒等式を幾何的に導出することができた。この導出方法の過程で興味深いq恒等式を得た。(2)可解格子模型では対称関数との関連は殆ど２次元の場合に限定されてきたが、３次元の場合、即ち、四面体方程式のR行列からなる分配関数の明示的表示は殆どない。これに関して岩尾慎介氏、大川領氏と共同研究を行った。バジャノフ、セルゲーエフ、マンガゼーエフによって導入された四面体方程式の解から構成されるある分配関数について解析し、シューア関数やループ基本対称関数との対応を導出した。国場、尾角らによって導出された基本交換関係式と、代数幾何の押出し公式を組み合わせる等の手法で導出した。(3)可解確率過程と(双対)グロタンディーク多項式に関しての共同研究を岩尾慎介氏、スクリムシャー氏と行った。岩尾氏の自由フェルミオン、非可換作用素の手法を用いて４種類の離散時間の完全非対称排他過程の遷移確率が(双対)グロタンディーク多項式の多パラメータ拡張と対応することを示した。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
1: 当初の計画以上に進展している
理由
数年前から取り組んでいる可解確率過程と対称関数の対応に関しての研究の他、
当該研究計画では想定に入っていなかったソース恒等式の代数的、幾何的研究、
四面体方程式の分配関数と対称関数に関する研究を行うことができたため。
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| 今後の研究の推進方策 |
楕円可積分系の分配関数と表現論に関して進展ができているので、
それを論文としてまとめて公表する作業に取り掛かりたい。
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