| 研究開始時の研究の概要 |
シフト量子アフィン代数は, 数理物理に現れるクーロン枝を動機の１つとして最近導入された量子群の１種である。その表現論はまだあまり調べられていないので, その基礎付けを行うことがひとつの目標である。
特に, 本研究の動機の１つとなっている, 巡回 q-Schur 代数の表現論との関係を雛形とし, シフト量子アフィン代数の余積構造, 及び表現のなす圏上のテンソル圏としての構造が持っている性質を明らかにし, その応用を探ることを目指す。
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| 研究実績の概要 |
前年度に引き続き, シフト量子アフィン代数の構造論, 及び表現論に関して研究した。
これまでは, Ariki-Koike 代数との間の Schur-Weyl 双対の構成やそれらに関することを中心に調べてきたが, それらを利用することにより, より一般の設定でシフト量子アフィン代数の有限次元表現を調べた。
シフト量子アフィン代数の表現論において, その q-指標 (表現を特徴付ける重要な不変量) を求めることが基本的な問題の一つであるが, 一般には, q-指標を求めることは難しい。一方で, Schur-Weyl 双対を通じて, シフト量子アフィン代数の表現論の一部とみなせる巡回 q-Schur 代数の表現論については, その cellular 基底から得られる組み合わせ論を用いた具体的な記述が知られている。今年度は, 取り敢えず, 巡回 q-Schur 代数の Weyl 加群 (パラメータが一般的な場合には既約となる) を, シフト量子アフィン代数の表現と思ったときの q-指標を, 組み合わせ論を使って具体的に与えた。
また, シフト量子アフィン代数の表現論においては, その余積構造を用いて, 与えられた表現のテンソル積表現を考えたときに, それらがどのような性質を持つかが重要である。この問題についても, パラメータが一般的な場合の巡回q-Schur 代数の Weyl 加群を一次元表現とのテンソル積表現を考えシフトしたときに何が起きるかを, 組み合わせ論を用いて具体的に記述することができた。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
当初の計画通り, Schur-Weyl 双対を利用して, 巡回 q-Schur 代数のWeyl 加群の q-指標を組み合わせ論を用いて具体的に記述することができ, さらに, それらを, １次元表現とのテンソル積をとってシフトしたときに, どのような構造を持つかを理解できた。
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