| 研究課題/領域番号 |
21K03180
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分11010:代数学関連
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| 研究機関 | 大阪公立大学 (2022)
神戸大学 (2021) |
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研究代表者 |
大川 領 大阪公立大学, 数学研究所, 特別研究員 (00637100)
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| 研究分担者 |
白石 潤一 東京大学, 大学院数理科学研究科, 准教授 (20272536)
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| 研究期間 (年度) |
2021-04-01 – 2026-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2022年度)
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| 配分額 *注記 |
4,290千円 (直接経費: 3,300千円、間接経費: 990千円)
2025年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
2024年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
2023年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
2022年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2021年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
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| キーワード | 枠付き箙 / ハンドソー箙多様体 / 壁越え公式 / vortex分配関数 / 枠付き箙表現のモジュライ / ネクラソフ関数 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
物理学者ネクラソフが導入した分配関数を, 枠付きベクトル束のモジュライ空間上の積分により計算する. この分配関数は, ネクラソフ関数と呼ばれ近年では可積分系関数, とくに, パンルヴェtau関数や, マクドナルド母関数などとの関係において注目されている.
モジュライ空間の幾何学からその上の積分値を計算する壁越え公式を精密化することにより, これらの関数が持つ対称性について調べる.
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| 研究実績の概要 |
A1型ハンドソー箙多様体のモジュライ空間についての成果を論文として仕上げ投稿した. この計算のK理論への拡張を部分的に行なった. 具体的には, ハンドソー箙の表現の型を特殊なものに制限した場合に, 簡単な計算で壁越え公式が得られることを確認した. 今後この手法をより一般の型に適用して, 研究を進める上での基盤になると期待される. 一般の状況では, 梶原野海公式との関係性を明らかにした. これにより示すべき方程式を明らかにできた.
さらに枠付き箙表現のモジュライの壁越え公式について整理し, 論文の原稿としてまとめた. この執筆過程で, 一般的な状況において壁越え公式を証明するのに必要な技術的条件を改めて確認した. これはA1型ハンドソー箙多様体の計算を拡張する以下の研究過程において役立った.
共同研究者の白石氏との議論では, 漸近的自由なマクドナルド関数の明示公式とA2型ハンドソー箙多様体の壁越え現象との関連について調べた. 簡単な状況において両者が整合していることを確認した.
粟田氏, 長谷川氏, 菅野氏, Shakirov氏, 白石氏, 山田氏との共同研究では, アフィンロウモン空間上の積分の母関数がみたすと予想される方程式と, 量子パンルヴェ方程式との関係を明らかにした. この結果を論文にまとめ投稿した.
さらに旗多様体上のK理論類の積分計算により別証明を与えたWeber-Zielenkiviczの留数公式を応用し, グロタンディエク多項式の行列式公式を導出した. ただし, これは本質的にヤコビ-トゥルディ公式の応用と考えられる.
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
研究分担者の白石氏との議論において, はっきりとした結果としてまとまらなかったものが多数ある. これらは将来的な研究の萌芽となることが期待される. さらに, これまで行なった加法的な計算を乗法的な計算へと拡張する際に, 不慣れなためにチェックができず遅れた部分がある. しかし, つい最近になって着実に技術が身につき, これらの結果が正しいことがわかった. そのため今後の研究が速やかに進むことが期待される.
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| 今後の研究の推進方策 |
まず梶原野海変換を壁越え公式により導出する. これについては, つい最近に確認できたので、今後はそれを整理して, さらに接束の同変Euler類の積分へと拡張する. 将来的には野海氏によるセルバーグ型のq超幾何積分との関連を調べたい.
野海氏の研究では梶原野海変換を導出するためのSource恒等式が用いられている.
このSource恒等式の壁越え公式による導出およびその拡張を試みる.
これらの研究によりK理論類の積分についての技術を身につけ, さらにアフィンA型箙多様体に拡張しBershtein-Gavrylenko-Marshakovによる予想の証明に取り組む.
さらに, 白石氏との議論により, アフィンロウモン空間やA2型ロウモン空間上の積分計算に応用し, これらの結果を表現論的な形にまとめるための基盤に取り組む.
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