| 研究課題/領域番号 |
21K03180
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分11010:代数学関連
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| 研究機関 | 京都大学 (2023)
大阪公立大学 (2022)
神戸大学 (2021) |
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研究代表者 |
大川 領 京都大学, 数理解析研究所, 研究員 (00637100)
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| 研究分担者 |
白石 潤一 東京大学, 大学院数理科学研究科, 准教授 (20272536)
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| 研究期間 (年度) |
2021-04-01 – 2026-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2023年度)
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| 配分額 *注記 |
4,290千円 (直接経費: 3,300千円、間接経費: 990千円)
2025年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
2024年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
2023年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
2022年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2021年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
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| キーワード | 壁越え公式 / K理論 / 多重超幾何級数 / アフィンLaumon分配関数 / Grothendieck多項式 / 枠付き箙 / ハンドソー箙多様体 / vortex分配関数 / 枠付き箙表現のモジュライ / ネクラソフ関数 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
物理学者ネクラソフが導入した分配関数を, 枠付きベクトル束のモジュライ空間上の積分により計算する. この分配関数は, ネクラソフ関数と呼ばれ近年では可積分系関数, とくに, パンルヴェtau関数や, マクドナルド母関数などとの関係において注目されている.
モジュライ空間の幾何学からその上の積分値を計算する壁越え公式を精密化することにより, これらの関数が持つ対称性について調べる.
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| 研究実績の概要 |
これまで個別の問題ごとに導出していた壁越え公式を枠付き箙という設定でまとめた. その興味深い応用として旗多様体上の同変積分の計算を実行し, Grothendieck多項式の行列式公式を得た. この具体例では技術的な複雑さが解消されるため, コホモロジーだけでなくK理論版の計算も行った.
これを元にして, さらに白石氏との共同研究ではK理論版の壁越え公式を一般的な枠付き箙の設定でまとめた. 特にA_1型のハンドソー箙多様体上のK理論的積分から梶原-野海の基本多重超幾何級数が得られので, その積分に壁越え公式を応用することで梶原変換公式の再証明を与えた.
粟田氏, 菅野氏, 長谷川氏, Shakirov氏, 白石氏, 山田氏との共同研究ではVI型Painleve方程式のq差分量子化であるShakirov方程式の解がアフィンLaumon空間上の積分から定まる分配関数により与えられることを示した. 証明はKZ方程式のJackson積分解と同定することで与えたが, 今後は壁越え公式との関係を追求したい, さらに茂木氏との共同研究では, 梶原変換公式の梶原氏による元々の証明に用いられたソース恒等式を, 特殊な枠付き箙に対する壁越え公式から導出した.
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
当初目標としていたマクドナルド関数については, A_1型の場合に関数等式を示した. また, アフィンLaumon分配関数については関数等式の予想を述べた. 残りの年度で, この予想の証明を与え, Nekrasov関数の関数等式へと研究を進める. また, VI型Painleve方程式とアフィンLaumon分配関数との関係も明らかになりつつある. これをさらに進めてPainleve τ関数の関数等式へと研究を進める. これらの状況は当初の計画に対して概ね順調に進んでいる.
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| 今後の研究の推進方策 |
K理論版の壁越え公式を応用として, 爆発公式の拡張を行う. 中島氏と吉岡氏による先行研究ではP^2の一点爆発が調べられたが, P^2に群作用をつけた軌道多様体の一点爆発に対する爆発公式を壁越え公式から導出する. まずは階数1の連接層のモジュライ上で随伴物質場理論の分配関数を考え, 先行研究の拡張を行う. 白石氏はこの場合に梶原変換公式を用いて上記の予想を証明している. その議論との比較を行うことで, 爆発公式による予想へのアプローチを試みる.
また、茂木氏との共同研究では, 積分理論をさらに楕円コホモロジーの枠組みに深化させ, そこでの壁越え公式の導出に取り組む.
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