| 研究課題/領域番号 |
21K03183
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分11010:代数学関連
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| 研究機関 | 久留米工業大学 (2022)
九州大学 (2021) |
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研究代表者 |
境 優一 久留米工業大学, 工学部, 任期付助教 (10815567)
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| 研究期間 (年度) |
2021-04-01 – 2025-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2022年度)
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| 配分額 *注記 |
4,030千円 (直接経費: 3,100千円、間接経費: 930千円)
2024年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2023年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2022年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
2021年度: 1,170千円 (直接経費: 900千円、間接経費: 270千円)
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| キーワード | 保型線形微分方程式 / モジュラー形式 / 準モジュラー形式 / 頂点作用素代数 / 指標関数 / 単純ヴィラソロ代数 / ヤコビ形式 / W代数 / (準)モジュラー形式 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
常線形微分方程式の解空間に「重み付き不変性」と呼ばれる性質を課したものを保型線形微分方程式と呼びます．
この保型線形微分方程式は，モジュラー形式と呼ばれる良い対称性を持つ関数や，頂点作用素代数の指標関数を解に持つことがあります．
特に，特定の場合において，モジュラー形式と指標関数が１対１の対応関係を持つことがあります．
このように，１体１の対応関係がある場合について，どのような特徴や性質があるのかを，保型線形微分方程式を用いて研究を行います．
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| 研究実績の概要 |
本年度は，保型線形微分方程式および保型線形微分作用素に関する研究において研究結果の論文化及び研究集会講演を実施し，講演聴講者との活発な議論を行った．特に，本研究結果を用いた新たなモジュラー形式への応用の可能性について知見を得ることができた．（本研究は，大阪大学・永友清和氏とマックスプランク研究所・D. Zagier氏との共同研究である．）本研究については，現在投稿中である．
また，単純ヴィラソロ頂点作用素代数の(2, N) (Nは５以上の奇数) 型の指標関数と，大阪大学・伊吹山知義氏が系統的に定義した分数重さのモジュラー形式との対応関係を与え，頂点作用素代数の知見を用いて整数論の立場から与えられた種々の結果の別証明を与えた．特に，ベクトル値モジュラー形式の観点から考察を行うことにより，分数重さのモジュラー形式の空間の(部分的な)生成元が満たす保型線形微分方程式の存在を証明した．
さらに，テータ群上での保型線形微分方程式の一般形を整備し，特定の有理的な頂点作用素超代数の指標関数が，2階または４階のテータ群上での保型線形微分方程式の解になることを示した．また，モジュラー群上での2階保型線形微分方程式（Kaneko-Zagier方程式)の類似の対象として，テータ群上でのKaneko-Zagier方程式を定義し，その解として現れるdepth１のextremal な準モジュラー形式と頂点作用素超代数の指標関数との対応関係を再構築した．本件については，昨年度からの継続研究であるが，Kaneko-Zagier方程式と同様に対応するデルタ関数(または，Dedekind eta関数の積・商)の類似物の取り方の正当性について改めて確認をした．（本研究は，大阪大学・永友清和氏と鹿児島大学・有家雄介氏との共同研究である．）
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
共同研究者との密な連絡及び意見交換により定期的な進捗状況を確認しつつ研究を実施することができた．また，研究集会等での講演発表や参加者との議論により新たな研究対象を得るなどした．さらに，計算機による数値実験等においても，これまでの様々な議論で得た知見をもとに種々の結果を得ることができている．
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| 今後の研究の推進方策 |
これまでの知見により保型線形微分方程式の一般理論の構築はほぼ完了したと考える．今後においては，解析的な立場からの保型(線形)微分方程式の考察を行う．特に，G.Masonによって与えられたベクトル値モジュラー形式と保型線形微分方程式との関係をWronskian行列において評価する手法を拡張することに注力したい．また，テータ群上での保型線形微分方程式の分類についてモジュラー群上での類似がいえるか否かについても研究を進めることとする．
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