| 研究課題/領域番号 |
21K03183
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分11010:代数学関連
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| 研究機関 | 久留米工業大学 (2022-2023)
九州大学 (2021) |
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研究代表者 |
境 優一 久留米工業大学, 工学部, 任期付助教 (10815567)
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| 研究期間 (年度) |
2021-04-01 – 2025-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2023年度)
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| 配分額 *注記 |
4,030千円 (直接経費: 3,100千円、間接経費: 930千円)
2024年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2023年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2022年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
2021年度: 1,170千円 (直接経費: 900千円、間接経費: 270千円)
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| キーワード | 保型線形微分方程式 / 準モジュラー形式 / モジュラー形式 / ヤコビ形式 / 頂点作用素超代数 / W代数 / 指標関数 / 頂点作用素代数 / 単純ヴィラソロ代数 / (準)モジュラー形式 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
常線形微分方程式の解空間に「重み付き不変性」と呼ばれる性質を課したものを保型線形微分方程式と呼びます．
この保型線形微分方程式は，モジュラー形式と呼ばれる良い対称性を持つ関数や，頂点作用素代数の指標関数を解に持つことがあります．
特に，特定の場合において，モジュラー形式と指標関数が１対１の対応関係を持つことがあります．
このように，１体１の対応関係がある場合について，どのような特徴や性質があるのかを，保型線形微分方程式を用いて研究を行います．
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| 研究実績の概要 |
本年度は，マックスプランク研究所のDon Zagier氏と大阪大学の永友清和氏との共同研究である保型線形微分方程式・作用素とRankin-Cohen括弧積に関する研究において，理論の更なる精密化及び修正を行なった．特に，概正則モジュラー形式と準モジュラー形式に対する正則射影(holomorphic projection)作用素についての対応及び付随する理論をより細密に研究した．この作用素と保型線形微分作用素との１対１対応についての記述及び理論に対する具体例を用いることにより理論の枠を正確に与えることができた．これらの研究結果においては，Transaction of A.M.S. に投稿中であり，現在修正の段階である．
また，永友清和氏との共同研究である伊吹山知義氏が与えた分数重さのモジュラー形式と単純ヴィラソロ頂点作用素代数の指標関数との対応関係については，論文構成をより簡潔に再構成している段階である．本論文も投稿準備中である．
また，頂点作用素超代数を念頭に，テータ群上での保型線形微分方程式を考察し，一般形を与えた．これは，Rankin-Cohen括弧積により記述可能である．しかしこの状態では微分方程式として持ちうる自由度が複数存在するため解の形を決定するには不十分である．ゆえに，(i) 超幾何型の線形微分方程式 であり (ii) 形式的冪級数解をもつ微分方程式においてのlog-form解の存在 を課して研究を行っている．この２条件により２階の保型線形微分方程式の解は１つの系列のみの存在であることを確認および具体的に記述した．これらは，大阪大学の永友清和氏と鹿児島大学の有家雄介氏との共同研究である．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
3: やや遅れている
理由
保型線形微分作用素に関する研究は概ね順調に進んでおり，論文出版までの道筋がついたが，テータ群上での保型線形微分方程式においては，モジュラー群の場合よりも自由度をもつパラメータが複数存在しており，これらのパラメタの制御及び制限を与える際の由緒正しいものとは何かを調査することに労力を要している．
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| 今後の研究の推進方策 |
本研究課題における最終年度にあたるため，これまでの研究内容に関するまとめや研究課題についてのリストアップを行い，今年度において解決可能な課題と今後の継続課題とするもの等に分類し共同研究者等に助力を求めつつ研究を進めたいと考える．また，これまでの研究成果も論文化し論文雑誌に投稿を行う予定である．
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