研究課題/領域番号 |
21K03187
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研究種目 |
基盤研究(C)
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配分区分 | 基金 |
応募区分 | 一般 |
審査区分 |
小区分11010:代数学関連
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研究機関 | 東京電機大学 |
研究代表者 |
新井 啓介 東京電機大学, 未来科学部, 教授 (80422393)
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研究期間 (年度) |
2021-04-01 – 2026-03-31
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研究課題ステータス |
交付 (2022年度)
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配分額 *注記 |
4,030千円 (直接経費: 3,100千円、間接経費: 930千円)
2025年度: 650千円 (直接経費: 500千円、間接経費: 150千円)
2024年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
2023年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
2022年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
2021年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
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キーワード | 大域体 / モジュライ / 有理点 / モジュライ空間 |
研究開始時の研究の概要 |
モジュライの有理点問題は、多項式を用いて表される方程式の解を求めるという観点かも、幾何的構造を分類するという観点からも、数論幾何における最重要課題のうちの1つである。本研究では、楕円曲線やアーベル多様体のモジュライ、およびその関数体類似の大域体上の有理点を理解することを目的とする。さらに、有理点に関する知見をもとに、Hasse原理などの数論的諸問題を開拓していく。同時に、高次元多様体の大域体上の有理点という難解な対象を理解する手掛かりを得る。また、代数体側と関数体側を比較し、両者の体の本質的な類似や相違について理解することを目指す。
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研究実績の概要 |
アーベル多様体は、数論において、代数的観点からも幾何的観点からも重要な研究対象である。また、代数体と関数体の類似はよく知られている。1次元アーベル多様体、つまり楕円曲線の関数体類似としてDrinfeld加群があり、両者は類似するガロア表現をもつ。さらに、楕円曲線のモジュライであるモジュラー曲線と、(ランク2の)Drinfeld加群のモジュライであるような曲線は、類似する性質をもつことも知られている。 本研究では、今年度、構造付きアーベル多様体のモジュライの代数体上の有理点を調べることを目標として研究を行った。アーベル多様体から定まるガロア表現の像は、アーベル多様体の付加構造(自己準同型環、部分群等)の影響を受けて特別な形状になる。その形状を群論的に解析し、指標の分類と組み合わせることにより、モジュライの有理点を調べることができる。アーベル多様体に複雑な構造を与えるほど有理点は少なくなると予測されるので、その予測に基づいて研究を進めた。モジュライのレベルが十分大きいとき、またはある特殊な条件下において、有理点の集合が空になる、あるいは自明な元のみから成る、という結果が期待される。 そして今回は、有限体k上のアーベル多様体がQMをもつための必要十分条件を決定した。さらにその中で、kの素体上の次数が奇数の場合を特定することもできた。これにより、代数体上のQMアーベル多様体の非存在や、高次の代数体上の志村曲線の有理点の非存在を調べるための手がかりをつかめた。
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現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
3: やや遅れている
理由
関数体の基礎的な理論の部分で、証明が難航している事項があるため。
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今後の研究の推進方策 |
有限体上のアーベル多様体の自己準同型に関して得られた知見をもとに、代数体側のアーベル多様体、およびモジュライの有理点を調べる。さらに、それを手がかりとして、関数体側の進展も目指す。
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