研究課題/領域番号 |
21K03188
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研究種目 |
基盤研究(C)
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配分区分 | 基金 |
応募区分 | 一般 |
審査区分 |
小区分11010:代数学関連
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研究機関 | 日本女子大学 |
研究代表者 |
杉山 倫 日本女子大学, 理学部, 講師 (20633233)
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研究期間 (年度) |
2021-04-01 – 2026-03-31
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研究課題ステータス |
交付 (2022年度)
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配分額 *注記 |
2,730千円 (直接経費: 2,100千円、間接経費: 630千円)
2025年度: 650千円 (直接経費: 500千円、間接経費: 150千円)
2024年度: 650千円 (直接経費: 500千円、間接経費: 150千円)
2023年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
2022年度: 390千円 (直接経費: 300千円、間接経費: 90千円)
2021年度: 260千円 (直接経費: 200千円、間接経費: 60千円)
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キーワード | 数論幾何 / モチーフ理論 / modulus presheaf / 高次元類体論 / 代数的サイクル / モチーフ |
研究開始時の研究の概要 |
代数多様体の内在的な情報として代数的サイクルというものがあり、これを用いて構成される高次チャウ群やモチーフ理論について盛んに研究されてきている. これらはホモトピー不変性を有するが, それ故見落とされているものもある. これに対し, モジュラス付き代数的サイクルを用いて拡張された対象や理論が導入・研究され, ホモトピー不変性を拡張した枠組みが構築されてきている. 本研究は, 代数多様体のホモトピー不変でない性質を, モジュラス付き代数的サイクル及びモチーフ理論を用いて記述すること, またそれらを代数多様体の数論への応用することが目的である.
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研究実績の概要 |
これまでに得られている研究結果、主に、加法群・乗法群のmodulus presheafとしてのテンソル積の構造についての研究と文献調査を継続して行った。 (1)Hochschild ホモロジーとの関連 加法群のmodulus presfheafとしてのテンソル積を用いて、通常の環上の加群に対するHochschildホモロジーの複体と同様の方法により、modulus sheaf(または相互層)としての加法群に対する複体を定義し、そのホモロジーについて研究した。その結果、二つの加法群のテンソル積に対して得ている結果を用いることにより、1次のホモロジーの構造を決定することができた。また滑らかな環に対するHochshildホモロジーとケーラー微分の加群との同型定理との比較から、一般の場合のホモロジーが対応する次数のケーラー微分の層と同型になるであろうという予想を立てることができた。この予想については、やや強い仮定の下であるが、2次の場合も正しいことを確認できた。 (2)乗法群およびミルナーK群の接空間について 乗法群と加法群の関係として、乗法群の接空間が加法群と同型となるというものがある。一方で、ミルナーK群の接空間はケーラー微分の加群と関係している。さらに、相互層として乗法群のn個テンソル積がミルナーK群の層になることを示している。このような関係から、ミルナーK群の層に対し接空間を取る操作を繰り返すことで得られる層について調べた。その結果、2次の場合にこれまでに示している加法群2個のテンソル積と同じ層が得られることを確認した。これにより、3個以上の加法群のテンソル積の構造についての予想を明確に定式化することができた。また(1)の検証結果と合わせて、強い仮定の下ではあるが、3個の場合に正しいことを確認することができた。今回得られた予想の検証を継続していく。
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現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
3: やや遅れている
理由
目指している加法群のテンソル積の構造についての予想を明確に定式化できた点は大きな進展であった。また「接空間」という新たな視点を導入できたことは良い進捗であった。しかし、予想の証明が想定していたよりも難解であり、特定の場合に強い仮定の下での結果のみとなってしまっているため。
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今後の研究の推進方策 |
今回、定式化できた予想の検証を継続して行っていく。その際、直接的なアプローチだけではなく、「接空間を取る」とう新たな視点を導入できたため、この方向からのアプローチも試していく考えである。 一方で、接空間をモジュラス付きモチーフ理論の中でどのように捉えることができるのかという新たな研究課題が見つかった状況とも言えるため、柔軟に研究計画を変更しながら進めていく。
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