| 研究課題/領域番号 |
21K03194
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分11010:代数学関連
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| 研究機関 | 山形大学 |
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研究代表者 |
早田 孝博 山形大学, 大学院理工学研究科, 准教授 (50312757)
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| 研究期間 (年度) |
2021-04-01 – 2025-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2023年度)
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| 配分額 *注記 |
1,560千円 (直接経費: 1,200千円、間接経費: 360千円)
2023年度: 260千円 (直接経費: 200千円、間接経費: 60千円)
2022年度: 260千円 (直接経費: 200千円、間接経費: 60千円)
2021年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
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| キーワード | 正定値対称行列 / 対称空間 / 半単純リー群 / ジャイロ群 / 基本領域 / 格子 / 対称領域 / カルタン分解 / 対称錐 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
ジャイロ群とは、メビウス和やアインシュタイン積を抽象化した代数構造である。特に半単純リー群の極分解に付随するカルタン対合の固有値1部分はジャイロ群の例である。その行列表現および対称空間実現により解析可能なさまざまなジャイロ群の公式が得られると考える。
ジャイロ群においては例えばコーシー・シュワルツ型の不等式が知られており、その行列実現は興味深いと考える。逆に行列上のアダマールの不等式やエルミートの不等式などはジャイロ群の観点からはどのようになるのかを研究する。
応用として、数の幾何の観点からの不変量がジャイロ構造で解釈し、ボロノイ型の理論への寄与を追求する。
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| 研究実績の概要 |
正定値対称行列のなす集合においてどのような代数演算を考えうるか、という問いのひとつの解答としてジャイロ群演算がある。これは非結合的であり非可換でもあるが、類似するジャイロ結合則およびジャイロ可換性を満たす。これは半単純リー群のカルタン分解を考えることにより一般化でき、抽象的なジャイロ群に行列レベルで記述される例を提供することから、豊富な数学的対象を持つことがわかる。特にこの実現はジャイレーションが具体的にコンパクト群の作用として明示化され、興味深い。またこれらは自然に非コンパクトリーマン対称空間上の演算をも導く。メビウス和やアインシュタイン積はその一例である。
一方、半単純リー群において、ランキン、クーランジェオンによって、ランキン定数や一般完全格子として定式化され、その後渡部によって行列式型高さ関数による球充填問題として定式化された最適化問題に興味を持つ。非自明な例として階数2のシンプレクティック群の場合がある。この場合エルミート不等式による評価が効果的に働き、一般完全格子のリストが得られた。この結果は示唆的であり、一般にボロノイアルゴリズムの適用できる線形の高さ関数の場合と異なり、それにプラスして行列式型高さ関数を扱うための行列不等式による評価が必要である。これを指針とし、適切な行列不等式とその適用を模索する。未だ主たる結果は得ていないが、方策のひとつとして非線形な構造をもつジャイロ群上の構造に着眼した。ジャイロ群上の不等式やR.バーティアの一連の正値行列の満たす行列不等式の中から応用可能なものがあると展望する。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
4: 遅れている
理由
進捗状況は遅れている。完全格子を計算するアルゴリズムにおいて、必要なデータ構造とそれらを扱うアルゴリズムについての理解は進んでいると考えるが、まだまだ多くの知識と経験値が必要な段階であり、計算量を考慮した実装までは距離がある。もうひとつの研究の主要なテーマであるジャイロ演算に関係する不等式の構築においては、その証明を行うべく、専門家の意見を伺うことや情報収集を徐々に実施しはじめてはしている。フルヴィッツ・ラドン定数などの新たな知見を得ることができた点は進んだともいえるが、昨年より状況が大きく改善しているとは言い難く、研究連絡なども満足に行えていなかった。次年度は、米沢数学セミナーの開催を行えそうな状況になり、進捗状況の改善を見込んでいる。
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| 今後の研究の推進方策 |
今後の研究としては、遅れている状況を徐々に改善していきたい。まず、ジャイロ構造の行列表示と不等式の関連において考察を深めたい。また、研究目的のひとつである、シンプレクティック格子の完全格子の探索についても考察を深め、計算の進展を期待したい。いままでより、データの扱いやアルゴリズムの扱いにおいて、ダイナミックプログラミングを援用する点やリスト処理の効率化について、理解が深まったと感じているので、格子の同型性の判定部分についても改善を行い、全体の計算量改善に寄与したい。今年度、 開催される研究集会や学会での情報収集も問題無く行える予定であり、引き続き行っていきたい。また、次年度は米沢数学セミナーの開催を行うことで研究の推進に寄与することが期待できると思う。
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