| 研究課題/領域番号 |
21K03199
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分11010:代数学関連
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| 研究機関 | 一橋大学 |
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研究代表者 |
中山 能力 一橋大学, 大学院経済学研究科, 教授 (70272664)
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| 研究期間 (年度) |
2021-04-01 – 2026-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2023年度)
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| 配分額 *注記 |
1,950千円 (直接経費: 1,500千円、間接経費: 450千円)
2025年度: 390千円 (直接経費: 300千円、間接経費: 90千円)
2024年度: 390千円 (直接経費: 300千円、間接経費: 90千円)
2023年度: 390千円 (直接経費: 300千円、間接経費: 90千円)
2022年度: 390千円 (直接経費: 300千円、間接経費: 90千円)
2021年度: 390千円 (直接経費: 300千円、間接経費: 90千円)
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| キーワード | アーベル多様体 / 対数幾何 / 代数幾何 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
係数環付きアーベル多様体のモジュライ空間のコンパクト化を、係数環付き log アーベル多様体のモジュライ空間として構成することを目指す。係数環付き log アーベル多様体は、log 幾何の手法を用いて、係数環付きアーベル多様体と並行的に定義され、係数環付きアーベル多様体をその特別の場合として含んでいる。係数環付き log アーベル多様体の同型類の集合に空間構造を与え、従来理論のどれにもない特長を備えたコンパクト化されたモジュライ空間を構成することを目指す。
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| 研究実績の概要 |
当研究は係数環付きアーベル多様体のモジュライ空間のコンパクト化を、log 幾何を用い、係数環付き log アーベル多様体のモジュライ空間として構成することを目指すものであった。2023 年度は、2021 年度に策定した方針に基づいて 2022 年度に構成が達成できることが確認された空間の応用として、log アーベル多様体のコホモロジーについての研究を行なった。ここでの目標は従来散発的に特別な場合だけ計算されていた log アーベル多様体の各種コホモロジーを統一的かつ網羅的に計算することである。具体的には連接層係数のコホモロジー、l-進コホモロジー、p-進コホモロジー、Betti コホモロジー、ホッジコホモロジーなどが対象である。このうち 2023 年度は主に連接層係数のコホモロジーについて研究し、定退化のときすでにモジュライ空間が有用であることを見出した。というのは定退化のとき、退化なしのアーベル多様体の部分と全退化の部分とに分けるスペクトル系列が退化することを示す必要があるが、これはモジュライを用いて普遍族の場合に帰着し、その場合は Z 上平坦であることから従う。また定退化でない一般の場合は模型で覆うことで模型のコホモロジーの計算に帰着する方針が自然であるが、その場合、log アーベル多様体とその模型との間は log blowing-up の関係で結ばれるので、コホモロジーを保つことを示すためには 、base を log regular の場合に帰着したい。これも、モジュライが log regular であることから可能になる。また１次のコホモロジーが局所定数層になることは、双対 log アーベル多様体がある場合は示せる。以上をあわせ、log アーベル多様体が主偏極を持つ場合は連接層係数のコホモロジーについて、古典的な場合と並行的な結果が成り立つことが証明できた。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
当研究は係数環付きアーベル多様体のモジュライ空間のコンパクト化を、log 幾何を用い、係数環付きlog アーベル多様体のモジュライ空間として構成することを目指すものであるが、初年度である 2021 年度に決まった方針に基づき研究が進み、モジュライ空間自体の構成はでき、その応用を研究している段階に進んでいるため、おおむね順調であるといえる。
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| 今後の研究の推進方策 |
2024 年度は、横浜国立大学、シカゴ大学の共同研究者と緊密に連絡を取り合い、2022 年度に構成できた係数環付きアーベル多様体のモジュライ空間のコンパクト化の応用および関連する課題を研究する方針である。直接会合を持つことができない場合は、web 会議システムなどを利用して対応する予定である。内容的には log アーベル多様体の l-進コホモロジー および p-進コホモロジーの研究、さらに余裕があれば Betti コホモロジー、ホッジコホモロジーの研究に進みたい。また並行してここまでに得られた結果をまとめ論文の形にしていく計画である。
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