| 研究課題/領域番号 |
21K03202
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分11010:代数学関連
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| 研究機関 | 名古屋大学 |
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研究代表者 |
岡田 聡一 名古屋大学, 多元数理科学研究科, 教授 (20224016)
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| 研究分担者 |
石川 雅雄 岡山大学, 自然科学学域, 教授 (40243373)
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| 研究期間 (年度) |
2021-04-01 – 2025-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2023年度)
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| 配分額 *注記 |
4,030千円 (直接経費: 3,100千円、間接経費: 930千円)
2023年度: 1,300千円 (直接経費: 1,000千円、間接経費: 300千円)
2022年度: 1,300千円 (直接経費: 1,000千円、間接経費: 300千円)
2021年度: 1,430千円 (直接経費: 1,100千円、間接経費: 330千円)
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| キーワード | 対称関数 / 組合せ論 / 表現論 / 平面分割 / 可積分系 / 正値性 / P-partition |
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| 研究開始時の研究の概要 |
対称多項式の無限変数版である対称関数は代数的組合せ論の核となる対象であり，組合せ論だけでなく，表現論，確率論，可積分系，数理物理学などの数多くの分野において重要な役割を果たしている．この研究では，対称関数の間のさまざまな関係式を見出し，表現論，組合せ論などに応用することを目指している．具体的には，Schur Q 関数とその一般化，平面分割の重み付き母関数，フック公式を主な研究テーマとする．
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| 研究実績の概要 |
この研究では，対称関数の間のさまざまな関係式を見出し，それらを表現論，組合せ論に展開することを目指し，(A) 古典型ルート系に付随したSchurのQ関数，(B) 平面分割の数え上げ問題，(C) d-completeな半順序集合上のP-partition，の3つのパートに分けて研究を進めた．
2023年度の研究のパート (A) では，Schurが対称群の射影表現の研究において導入したSchurのQ関数の1つの拡張である有理Q関数について，その組合せ論的表示を目指して研究を行った．そして，有理Q関数をPfaffianの比として表すNimmo型公式を与えた．
パート (B) では，昨年度までの研究で，概長方形型Young図形（長方形のYoung図形の最後の行あるいは列から箱をいくつか取り除いたもの）に対応する古典群の既約表現のテンソル積，部分群への制限を考察していた．今年度は，異なる系列に属する古典群の概長方形型既約指標の積の既約指標の和への分解を扱い，既約指標の係数に具体的な組合せ論的記述を与えるとともに，平面分割の数え上げ問題への応用を見出すことができた．また，この過程で，これまでの証明では煩雑な計算に基づいていた部分を簡易化するようなより一般的な枠組みを与えた．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
表現論とは直接結びつかない異なる系列に属する古典群の概長方形型既約指標の積の分解を具体的に与えることができた．また，これまでの証明では煩雑な計算に基づいていた部分を簡易化するようなより一般的な枠組みを与えることができ，この手法の応用範囲を拡張できる可能性が出てきた．
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| 今後の研究の推進方策 |
パート (A) で得られたNimmo型公式を足掛かりとして，有理Q関数を1つのPfaffianで表すSchur型，Jozefiak-Pragacz型の公式，半標準盤の母関数として表す組合せ論的公式を目指したい．また，パート (B) で得られた手法の応用を考察したい．
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