| 研究課題/領域番号 |
21K03205
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分11010:代数学関連
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| 研究機関 | 山口大学 |
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研究代表者 |
木内 功 山口大学, 大学院創成科学研究科, 教授 (30271076)
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| 研究期間 (年度) |
2021-04-01 – 2026-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2024年度)
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| 配分額 *注記 |
3,120千円 (直接経費: 2,400千円、間接経費: 720千円)
2024年度: 650千円 (直接経費: 500千円、間接経費: 150千円)
2023年度: 650千円 (直接経費: 500千円、間接経費: 150千円)
2022年度: 650千円 (直接経費: 500千円、間接経費: 150千円)
2021年度: 1,170千円 (直接経費: 900千円、間接経費: 270千円)
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| キーワード | gcd / 数論的関数 / リーマンゼータ関数 / 指数和 / gcd和関数 / squarefull numbers / cube-full numbers |
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| 研究開始時の研究の概要 |
GCD和関数及び関連する話題の研究は、整数論において重要な研究課題の一つであり、多くの場合は、初等的な方法で興味深い結果が得られ、その活躍の分野は多岐にわたる。古典的な問題設定ながら、現在でも活発に研究が行われている点で重要な分野である。本研究の課題は、このような状況の中、現在までのGCD和関数の手法及び結果を新たなる対象と捉え、解析学（関数論、実解析、確率論等）の理論と初等的な理論を融合し、巧妙な計算方法を考察・考案することである。特に、GCD和関数の総和公式の誤差項と約数問題の誤差項が、ゼータ関数の零点、平均値定理、密度定理などの様々な結果と密接な関係があろうと予想できる。
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| 研究実績の概要 |
本研究では、最大公約数を含む様々な数論的関数についての総和公式を考察した。24年度の成果として次の4つがある。（１）2021年度に発表したsuarefull numbersを利用した論文と2022年度に発表したcubefull numbersを利用した論文を、さらに深部に至るまで誤差項の漸近的な振る舞いを重み付き関数を用いて精密に表記した。また、リーマン予想を仮定することで誤差項の別表現も得られた。（２）Liouville 関数を含む総和公式、２重総和公式を求めるために、数論的関数の様々な性質、経路積分の古典的なperronの公式、Fourier 積分の公式、van der Corput の指数和の公式と指数対、リーマン・ゼータ関数の解析的性質を十分に利用して、総和公式を求めた。そのことで、Liouville 関数の新たな性質を求めることができた。（３）素数に深い関係のあるvon Mangoldt 関数の総和公式を（２）の方法を利用して求めた。そのことで、素数に関連する公式との関連性を明確にした。（4）最後に、Euler関数を含む最大公約数和関数の漸近公式を、指数和の方法を利用して、精密な結果を得ることができた。そこでは、最良の Bourgainの結果を利用しているため、更なる予想が考えられ、今後の課題を含むものとなった。
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| 現在までの達成度 |
現在までの達成度
2: おおむね順調に進展している
理由
本研究では、最大公約数を含む様々な数論的関数についての総和公式を解析的な方法により行われてきた。おおむね順調に研究が進展しているが、今後の課題としては、確率論的な側面を利用して、平均化をスムーズに施すことができると考える。
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| 今後の研究の推進方策 |
本研究では、最大公約数を含む様々な数論的関数についての総和公式を解析的な方法により行われてきたが、今後の課題としては、確率論的な側面を利用して、平均化をスムーズに施すことができると考える。その点に着目して、上記及びその他の場合について行う。
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