| 研究課題/領域番号 |
21K03220
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分11020:幾何学関連
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| 研究機関 | 東京学芸大学 |
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研究代表者 |
田中 心 東京学芸大学, 教育学部, 准教授 (70448950)
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| 研究期間 (年度) |
2021-04-01 – 2025-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2022年度)
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| 配分額 *注記 |
4,160千円 (直接経費: 3,200千円、間接経費: 960千円)
2024年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
2023年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
2022年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
2021年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
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| キーワード | 低次元トポロジー / 曲面結び目 / カンドル代数 / 古典的結び目 / 結び目理論 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
カンドルと呼ばれる代数系は結び目図式と非常に相性が良い。本研究ではカンドル代数を用いて、曲面結び目と呼ばれる「４次元空間内の閉曲面」を調べる。カンドルやそのホモロジー理論を用いると、彩色数やコサイクル不変量と呼ばれる曲面結び目不変量がそれぞれ定義される。これらの不変量は図式を経由して定義されるため、組合せ的な側面が強い。本研究では、これらの不変量の幾何的意味を明らかにし、その結果を基に曲面結び目をより詳しく調べる。
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| 研究実績の概要 |
2022(R04)年度は、共同研究者である谷口雄太(大阪大学)氏と、球面結び目の結び目カンドルに関して考察を深め新たな知見を得た。その副産物として古典的結び目の「結び目m-カンドル」の構造を明らかにすることができた。結び目m-カンドルとは、結び目カンドルを自然数mに応じて割って得られる不変量である。結び目カンドルは一般に無限位数だが、結び目m-カンドルは有限位数になることもあり扱いやすいはずではあるが、近年まであまり注目されてこなかった。具体的には、古典的結び目の結び目m-カンドルに対し、その(カンドル代数の意味での)普遍被覆が「m-ツイストスパン結び目の結び目カンドル」であることを示した。これにより、結び目m-カンドルの二次ホモロジー群の構造を解明することもできた。なお、得られた成果を2023年2月に行われた国際集会「18th East Asian Conference on Geometric Topology」において発表した。
しばらく取り組んでいる「ラックを"多重化"して得られるラック」について、共同研究者である石川勝巳(京都大学)氏と議論をした。結び目図式の"多重化"に対応するラックの構成方法が、Ishii-Matsuzaki-Muraoらによって定義されていたが、彼らの構成で得られるラックの性質は不明な状況であった。二面体カンドルを多重化して得られるラックは簡単な構造しか持たないが、他のクラスの連結カンドルであれば状況が異なることが分かった。2023(R05)年度も引き続き研究を進めていく。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
研究実績の概要で述べたように、研究成果が着実に出ていることを考慮し、「おおむね順調に進展している」と自己評価を行った。
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| 今後の研究の推進方策 |
球面結び目の結び目カンドルに関する研究はまだまだ発展する余地が残されているので、しばらくはその方向で研究をつづける。関連する研究集会やセミナーなどに参加し、自身の研究に生かす。また研究成果を発表し、関連分野の研究者からのフィードバックを得て、成果の改良や新たな方向性を模索する。
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