| 研究課題/領域番号 |
21K03222
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分11020:幾何学関連
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| 研究機関 | 名古屋大学 |
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研究代表者 |
松尾 信一郎 名古屋大学, 多元数理科学研究科, 准教授 (40599487)
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| 研究期間 (年度) |
2021-04-01 – 2026-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2024年度)
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| 配分額 *注記 |
3,900千円 (直接経費: 3,000千円、間接経費: 900千円)
2025年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
2024年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
2023年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
2022年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
2021年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
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| キーワード | 微分幾何 / K理論 / 幾何解析 / 格子ゲージ理論 / 指数定理 / アノマリー / ゲージ理論 / 四次元多様体 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
1. 平坦とは限らないトーラスにおいてWD作用素を定式化して，トーラスに正スカラー曲率計量が存在しないことを組み合わせ論的に証明すること．
2. 一般のリーマン多様体でWD作用素を定式化して，特に四次元多様体のとき，ロホリンの定理を組み合わせ論的に証明すること．
3. 一般の四次元リーマン多様体でWD作用素を用いて，非線型方程式のザイバーグ=ウィッテン方程式を組み合わせ論的に再定式化すること．
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| 研究実績の概要 |
2024年度は、昨年度に引き続き、格子ゲージ理論の数学的側面に関する研究を進めた。特に、連続理論におけるDirac作用素のFredholm指数と格子ゲージ理論におけるWilson-Dirac作用素の指数の関係に注目し、両者が一致することを示した。この成果は、格子上で定式化された理論と連続的な場の理論との対応関係を数学的に明確にするものであり、理論物理と幾何解析の接点において重要な意義を持つと考えられる。本研究の結果は、現在プレプリントとして公開しており、査読付き論文としても投稿中である。
さらに、これまでの研究を拡張し、Atiyah-Patodi-Singer（APS）指数の格子ゲージ理論における対応物の構成を試みた。その結果、境界条件付きの連続理論で定義されるAPS指数に対応する量を格子上に定式化することに成功し、それが連続極限においてAPS指数と一致することを数学的に示した。この成果により、格子理論においても境界効果を精密に捉えることが可能となり、今後の応用が期待される。
また，メゾスコピックな視点からの幾何解析を目指して，平坦トーラスを超えた空間におけるWilson-Dirac作用素の対応物を定義しようとして研究を進めた．
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| 現在までの達成度 |
現在までの達成度
1: 当初の計画以上に進展している
理由
格子ゲージ理論におけるAtiyah-Patodi-Singer指数の定義は，当初の想定を超えていた．
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| 今後の研究の推進方策 |
今後は，格子ゲージ理論におけるAtiyah-Singer指数とAtiyah-Patodi-Singer指数の性質をさらに研究していく．特に，平坦トーラスを超えた空間での定式化を目指す．これはメゾスコピックな視点を幾何解析に導入することになるであろう．
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