| 研究課題/領域番号 |
21K03225
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分11020:幾何学関連
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| 研究機関 | 京都大学 |
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研究代表者 |
渡邉 忠之 京都大学, 理学研究科, 准教授 (70467447)
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| 研究期間 (年度) |
2021-04-01 – 2025-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2023年度)
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| 配分額 *注記 |
2,340千円 (直接経費: 1,800千円、間接経費: 540千円)
2023年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
2022年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2021年度: 650千円 (直接経費: 500千円、間接経費: 150千円)
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| キーワード | 微分同相 / グラフホモロジー / 手術 / ファイバー束 / 4次元多様体 / 擬アイソトピー / psc計量 / 配置空間 / グラフクラスパー / pseudo-isotopy / グラフ / 微分同相群 / ホモトピー / 埋め込みの空間 / 位相不変量 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
ゴム膜の変形のように、形を保つ変換で、特異点のない滑らかなものを微分同相という。近年、多様体の微分同相からなる群のホモトピー型の研究が盛んになっており、特に最近、高次元球体の微分同相群の有理ホモトピー群に対する重要な進展が相次いで発表されている。本研究では、それらの最新の結果に対する幾何的な解釈を与えることを目的として研究する。
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| 研究実績の概要 |
Boris Botvinnik氏 (オレゴン大学) との共同研究で、4次元以上の円板の微分同相群のホモロジーに関する研究を進めた。
代表者は以前、円板に埋め込まれた3価グラフに沿った「手術」により、円板の微分同相群のホモトピー群の元を構成する方法を発見していた。これは3次元多様体に対するGoussarov-Habiroの手術 (グラフクラスパー手術) の高次元における類似と見なせる。令和5年度は、代表者のGoussarov-Habiro型手術を、3価とは限らない一般のグラフに拡張することを目指し、頂点の価数が高々5のグラフに対して、グラフに沿った「手術」により円板の微分同相群の分類空間のホモロジー群の元を構成することができた。この構成はKontsevichのグラフ複体の一部から円板の微分同相群の分類空間の特異チェイン複体へのチェイン写像を与えており、3価グラフの場合の自然な拡張となっている。Goussarov-Habiro型手術では3価頂点における手術がWhitehead積を幾何的に実現しJacobi関係式がみたされることの類似で、4価頂点と5価頂点における手術では、それらを高次のブラケット積と思ったときL無限大関係式の5次以下の部分がみたされることを確認した。これについて、オレゴン大学において対面で研究打ち合わせできたことや、島根大学およびBIRS（カナダ）において発表する機会が得られたことは有益であった。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
3: やや遅れている
理由
より一般のグラフに対する「手術」を構成するために有望と思われる新たなアイディアが得られ、それがうまく行くことの確認に時間を費やしたため、論文の執筆が遅れている。
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| 今後の研究の推進方策 |
そのアイディアの確認には、高次元の複雑な図形を要領よく変形することが必要であった。まとまった時間を費やして確認を進めたが、意外な難しさを含む部分が見つかり、うまく行くかどうかは未だ明確ではない。方針を変更し、すでにできている部分をまず論文にまとめる。
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