| 研究課題/領域番号 |
21K03231
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分11020:幾何学関連
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| 研究機関 | 大阪公立大学 (2022)
大阪市立大学 (2021) |
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研究代表者 |
河井 公大朗 大阪公立大学, 数学研究所, 特別研究員 (60728343)
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| 研究期間 (年度) |
2021-04-01 – 2025-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2022年度)
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| 配分額 *注記 |
4,160千円 (直接経費: 3,200千円、間接経費: 960千円)
2024年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
2023年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
2022年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
2021年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
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| キーワード | 極小接続 / dDT接続 / Liouville 型定理 / 変形ドナルドソン・トーマス接続 / ミラー対称性 / associative 部分多様体 / Cayley部分多様体 / G2多様体 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
コンパクト性定理（ある汎関数が一様有界な列の部分列が、有限個の点を除いて収束し、その有限個の点では「バブル」が生じるというような主張）を示したい。最初の汎関数の設定が一番の問題だが、類似の場合から、汎関数の候補はいくつかある。これらが基本的な性質をみたすか調べ、類似の場合の手法を応用しつつ定理の証明を目指す。
また部分多様体の通常の体積の「ミラー」として、接続の「体積」が導入できる。この勾配流（ミラーMCF）の研究を行いたい。特にG2, Spin(7)-dDT 接続の安定性、つまりそれらの十分近くからミラーMCFを流すとG2, Spin(7)-dDT 接続に収束するか調べる。
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| 研究実績の概要 |
昨年度に引き続き、極小部分多様体の「ミラー」と思える極小接続の研究を行った。極小接続は、保存則の概念を用いることにより、より一般的な視点から捉えられることに気付き、それに基づいて理論を発展させた。何種類かの単調性公式を証明し、それにより vanishing theorem (Liouville 型定理)を導いた。
また、calibrated 部分多様体の「ミラー」たちは、非コンパクト多様体上でも実際に極小接続になることを示した。これにより、G2-dDT接続に対する vanishing theorem (Liouville 型定理)が成り立つことを示した。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
単調性公式はコンパクト性定理のために重要なステップの１つであり、それについていくらか結果を得ることができたため。
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| 今後の研究の推進方策 |
保存則の概念は他の幾何の分野でもしばしば現れるので、それらの論文をよく調べ、極小接続の研究に応用できるものはないか調べる。また、極小接続からLaplacianに類似した作用素が定義できるが、その劣解に対する平均値の定理の証明を目指す。
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