| 研究課題/領域番号 |
21K03244
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分11020:幾何学関連
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| 研究機関 | 上越教育大学 |
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研究代表者 |
斎藤 敏夫 上越教育大学, 大学院学校教育研究科, 教授 (90397670)
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| 研究期間 (年度) |
2021-04-01 – 2026-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2024年度)
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| 配分額 *注記 |
3,510千円 (直接経費: 2,700千円、間接経費: 810千円)
2025年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
2024年度: 520千円 (直接経費: 400千円、間接経費: 120千円)
2023年度: 650千円 (直接経費: 500千円、間接経費: 150千円)
2022年度: 520千円 (直接経費: 400千円、間接経費: 120千円)
2021年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
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| キーワード | ３次元多様体 / フロースパイン / 仮想結び目 / デーン手術 / Heegaard分解 / 基本群 / 結び目 / 仮想結び目図式 / リザンドル / トポロジー |
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| 研究開始時の研究の概要 |
本研究の目的は，３次元多様体のさまざまな分解に対して，新たな発想と思考の枠組みを創り出すことにより，多様体の位相的・幾何的性質の特徴付けや位相不変量を発見することである．具体的には，ヘガード分解，フロースパインによる分解，オープンブック分解の３つを重点的に扱うことを計画している．特に，フロースパインによる分解では，結び目理論において開発された概念を利用して，３次元多様体の分類に実用的な位相不変量を構成する．また，オープンブック分解理論も用いて３次元多様体の幾何的性質の特徴付けを行う．さらに，これらをふまえてレンズ空間手術問題の解決を目指し，双曲構造の退化の様子を解明する一助とする．
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| 研究実績の概要 |
すべての（向き付けられた）３次元閉多様体は，与えられた非特異ベクトル場により定まるフローに対して，「良い」位置にあるスパイン（これをフロースパインという）をもつ。そして，フロースパインは仮想結び目図式を用いて表すことができ，通常とは異なる局所変形族で同値が定義される。結び目理論で有用なカンドル代数を改変した概念（リザンドル）を導入することにより，３次元多様体の「リザンドル彩色」を考える。前年度までの研究により，このリザンドル彩色が３次元閉多様体の不変量を与えることが分かっている。今年度は，リザンドル彩色とHeegaard分解，そして基本群について，次の関係性を明らかにした。
１．フロースパインを表す仮想結び目図式と３次元多様体のHeegaard図式
２．フロースパインを表す仮想結び目図式と３次元多様体の基本群
３．リザンドル彩色と３次元多様体の基本群の表現
本研究は，石井一平氏と中村拓司氏（山梨大学）との共同研究である。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
3: やや遅れている
理由
３次元多様体の仮想結び目図式表示と彩色不変量に関する研究に進展があり，今年度に限れば順調ともいえるが，「コロナ禍」後もしばらく国内外での共同研究や研究成果発表が十分に実施できなかった前年度以前の影響が残っており，研究期間全体としてはやや遅れていると判断した。
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| 今後の研究の推進方策 |
３次元多様体のリザンドル彩色とHeegaard分解，そして基本群の関係性についての理解を深めるため，石井一平氏，中村拓司氏（山梨大学）との共同研究を進める。また，結び目のデーン手術については，引き続き市原一裕氏（日本大学）との共同研究を行う。全体としては少し遅れているものの，研究の方向性や進め方を変える必要性はないと考えている。
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