| 研究課題/領域番号 |
21K03247
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分11020:幾何学関連
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| 研究機関 | 大阪大学 |
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研究代表者 |
金 英子 大阪大学, 全学教育推進機構, 教授 (80378554)
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| 研究期間 (年度) |
2021-04-01 – 2026-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2023年度)
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| 配分額 *注記 |
4,290千円 (直接経費: 3,300千円、間接経費: 990千円)
2025年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
2024年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
2023年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
2022年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
2021年度: 650千円 (直接経費: 500千円、間接経費: 150千円)
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| キーワード | 組ひも群 / 写像類群 / 擬アノソフ / 3次元多様体 / 写像トーラス / エントロピー / 平面N体問題 / 周期解 / へガード分解 / ファイバー / 双曲体積 / 金属比 / 拡大率 / 組みひも群 / 周期軌道 / 位相的エントロピー |
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| 研究開始時の研究の概要 |
曲面の上の同相写像の反復合成による離散力学系を理解するために擬アノソフ型の周期軌道に着目する. 本研究は平面N体問題の周期軌道を研究対象として含む. 擬アノソフ周期軌道が誘導する組みひもや３次元双曲ファイバー多様体を経由してこのような力学系を位相的に分類する. 本研究では周期軌道から定まる位相的エントロピーや体積といった擬アノソフ不変量について, 位相幾何学と力学系の双方向から調べる. そして組みひも群や写像類群における新しい構造を解明し, その知見をN体問題の解の位相的性質としてフィードバックする. N体問題の周期解の位相型を切り口とした, 組みひも群や写像類群の新しい問題を提供する.
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| 研究実績の概要 |
曲面の上の向きを保存する同相写像のイソトピー類がなす群を写像類群という. Nielsen-Thurston 理論により写像類は, 周期的 (periodic), 可約 (reducible), 擬アノソフ (pseudo-Anosov) の3つに類される. 力学系や3次元多様体論の研究では 擬アノソフ写像(類)の理解が鍵となる. 例えば, 擬アノソフの写像類の位相的エントロピーは, 代表元の擬アノソフ写像の拡大率(dilatation) の対数を取ったものと一致する.
擬アノソフ写像は測度付き安定ラミネーション (stable measured lamination) を許容する. Agol cycle とは, 擬アノソフ写像の測度付き安定ラミネーションから定まるものであり, 具体的には測度付きトレイントラックの周期列のことである.
Agol cycle が計算できれば, その擬アノソフ写像の写像トーラスの理想四面体分割 (veering triangulation) が一つ与えらる.
また擬アノソフ写像類の共役問題には, Agol cycle が重要な役割を担う.
令和5年度は, 単純な曲面である 一つ穴あきトーラスや3点穴あき円板の擬アノソフ写像の Agol cycle を計算した. さらに3点穴あき円板の擬アノソフ写像について, そのAgol cycle の長さと Garside 標準形の長さとの関係を明らかにした(川室 圭子氏 (アイオワ大学)との共同研究).
3点穴あき円板の擬アノソフ写像の Agol cycleの計算は, 3点の場合と異なり格段に難しくなる. 令和5年度は 4点穴あき円板や2点穴あきトーラスのの擬アノソフ写像の無限族について Agol cycle の研究を遂行した.
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
研究実績で述べたように, 擬アノソフ型の3本の組ひものAgol cycleは完全に決定した. 令和5年度に実施した本研究によって, Agol cycle の長さと擬アノソフの他の不変量の間の関係についての問題意識がさらに高まった.
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| 今後の研究の推進方策 |
(1) 一般の擬アノソフ型のn本組ひものAgol cycleを計算する. まずは 一般の4-組ひものAgol cycleの性質について研究を推進する.
(2) m, n を互いに素な整数とし, 時刻 t でパラメータ付けされたxy 平面のリサジュー閉曲線 x= sin(mt), y= sin(nt) の族を考える. 報告者は 中村博昭氏と小川裕之氏との過去の共同研究において, 平面のリサジュー閉曲線上の等間隔の３点がリサジュー閉曲線上の周期運動によって時間方向に形成する 3-組ひもを分類した (Lissajous 3-braids, 2023). この論文では位相差が0のリサジュー曲線を扱ったが, 今後は一般の位相差の場合についての分類を行う(中村博昭氏と小川裕之氏との共同研究).
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