| 研究課題/領域番号 |
21K03248
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分11020:幾何学関連
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| 研究機関 | 大阪大学 |
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研究代表者 |
長谷川 敬三 大阪大学, 大学院理学研究科, 招へい教授 (00208480)
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| 研究分担者 |
後藤 竜司 大阪大学, 大学院理学研究科, 教授 (30252571)
入江 博 茨城大学, 理工学研究科(理学野), 准教授 (30385489)
長谷川 和志 金沢大学, 学校教育系, 教授 (50349825)
糟谷 久矢 大阪大学, 大学院理学研究科, 准教授 (80712611)
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| 研究期間 (年度) |
2021-04-01 – 2025-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2023年度)
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| 配分額 *注記 |
1,950千円 (直接経費: 1,500千円、間接経費: 450千円)
2023年度: 520千円 (直接経費: 400千円、間接経費: 120千円)
2022年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
2021年度: 650千円 (直接経費: 500千円、間接経費: 150千円)
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| キーワード | ユニモジュラー・リー群 / 佐々木構造 / Vaisman構造 / CR構造 / カルタン接続 / ユニモジュ ラー・リー環 / 局所共形ケーラー構造 / Hopf多様体 / リー群 / 四元数構造 / 一般化された複素構造 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
1次元複素多様体 (リーマン面 ) から高次元複素多様体へ研究の対象を広げるとき，いろいろな面で新たな視点が必要になってくる。例えば，リーマン面はケーラー多様体 (代数多様体) であるが，2次元コンパクト複素多様体 (複素曲面) にはケーラー構造を許容しないものがある。非ケーラー複素多様体としてのHopf曲面，小平曲面，井上曲面は，等質または局所等質多様体として捉えることで，リー群・リー環の簡明な代数的手法による本質的な研究ができます。本研究において，一般の等質および局所等質多様体上のいくつかの複素幾何構造とその複素変形 (モジュライ) について，リー群論を援用して深く考察します。
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| 研究実績の概要 |
Vicente Cortes との共著「Unimodular Sasaki and Vaisman Lie groups」Math.Z. (2023)において，単連結ユニモ ジュラーVaismanおよび佐々木リー 群の完全な分類が得られた。すなわち，対応するリー環の言葉で述べると，改変 (Modification) を除いて「ユニモジュ ラーVaismanリー環はR x sl(2, R), R x su(2), R x hのいずれか」に分類され，「ユニモジュラー佐々木リー環はsl(2, R), su(2), hのいずれか」 に分類される。こ こでhはハイゼンベルグ・リー環であ る。さらに，これらのリー環上の不変な複素構造を決定した。佐々木構造は強擬凸CR構造で正規条件(normality)を満たすものとして捉えることができる。この研究成果に基づき本研究課題のひとつとして挙げていた目標「カルタン接続に関して局所平坦な単連結非退化CRリー群の決定」を糟谷久矢 (研究分担者)との共同研究として解決することができた。より具体的には，そのようなCRリー群は，上記の結果と同じ様に，「改変 (Modification) を除いてsl(2, R), su(2), hのいずれか」に分類される。さらに，これらのリー環上の不変なCR構造を決定した。これらのCR構造は上記の佐々木構造を特別な場合として含む。一方，(局所平坦とは限らない)単連結非退化CR冪零リー群は，強擬凸の場合はハイゼンベルグ・リー群であり，一般に非退化の場合は擬ケーラー冪零リー群のRによるリー環の拡張として得られたものに限る，ことを示した。これらの研究成果は「Cartan Flat Non-degenerate CR Lie Groups」(arXiv: 2404.03318)として投稿中である。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
1: 当初の計画以上に進展している
理由
研究実績の概要に述べた様に，「ユニモジュラー佐々木リー環は，改変 (Modification) を除いて，sl(2, R), su(2), hのいずれかである(ここでhはハイゼンベルグ・リー環)」が成り立つ。佐々木構造は強擬凸CR構造でいわゆる正規条件 (normality)を満たすものとして捉えることができますが、これらの佐々木リー環は，CR構造に関するカルタン接続に関して局所平坦な非退化CRリー環としても捉えることができます。一方，su(2)上には正規条件を満たさない局所平坦な非退化CR構造も入り，これらのCR構造は複素アファイン空間C^2の超曲面として(局所的にも)CR埋め込みできない例として良く知られています。この様に，リー群上のCR構造として，不変な局所平坦非退化CR構造に限っても複雑な状況になっていることは注目すべきことで，本研究課題にて新たな研究上の視点が得られ，今後の研究にも繋がるものです。
一般の非退化CRリー環の分類に関しては，３次元の場合は既にカルタンによって得られていますが，５次元以上では，佐々木リー環の分類も未解決です。研究実績の概要に述べた様に，非退化CR冪零リー群に関しては，強擬凸の場合はハイゼンベルグ・リー群に限ること，一般の場合に対しては構造定理を示すことができました。可解リー群の場合への拡張等の問題は今後の研究課題になります。
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| 今後の研究の推進方策 |
前回の報告書にて，今後の取り組むべき課題として挙げた，1. 予想「カルタン接続に関して局所平坦な単連結非退化CRリー群は対応するリー環が sl(2), su(2), hのいずれかの場合に限る」の解決，は上記の形で解決することができた。今後の課題として，引き続き，2. 単連結ユニモジュラー非退化CRリー群(より一般に等質空間)の分類問題の解決，3. 冪零 Lie 群上の不 変な複素構造は複素アファイン空間に双正則同型である，4. 冪零 Lie 群上の不変な複素構造の変形はまた不変 であり，したがって複素アファイン空間に双正 則同型である，を挙げたい。
研究活動の一環として，第7回国際研究集会「Complex Geometry and Lie Groups」を2023年5月にレッチェ (イタリア)にて開催した。第8回は，2025年3月10日-14日の日程で大阪にて開催の予定です。
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