| 研究課題/領域番号 |
21K03252
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分11020:幾何学関連
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| 研究機関 | 早稲田大学 (2023)
大阪公立大学 (2022)
大阪市立大学 (2021) |
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研究代表者 |
大仁田 義裕 早稲田大学, 理工学術院, 教授(任期付) (90183764)
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| 研究分担者 |
加藤 信 大阪公立大学, 大学院理学研究科, 准教授 (10243354)
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| 研究期間 (年度) |
2021-04-01 – 2025-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2023年度)
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| 配分額 *注記 |
4,160千円 (直接経費: 3,200千円、間接経費: 960千円)
2023年度: 1,430千円 (直接経費: 1,100千円、間接経費: 330千円)
2022年度: 1,430千円 (直接経費: 1,100千円、間接経費: 330千円)
2021年度: 1,300千円 (直接経費: 1,000千円、間接経費: 300千円)
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| キーワード | 微分幾何学 / 調和写像 / 極小部分多様体 / リー群 / 対称空間 / 等径部分多様体 / 可積分系 / 幾何学的変分問題 / 調和写像論 / 部分多様体論 / ラグランジュ部分多様体 / リー理論 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
リーマン多様体の部分多様体論は，ユークリッド空間の曲線・曲面論の高次元への一般化で，微分幾何学における最も基本的な主題の一つである．定曲率空間形を始めとする対称空間の部分多様体の幾何学は，ガウス，リーマン以来の長い伝統と歴史をもつ豊かで魅力的な学問分野である．調和写像論は，最も基本的かつ重要な幾何学的変分問題であり，リーマン面から対称空間への調和写像は可積分系に関わる幾何学的対象として顕著な特徴・構造をもつことがよく知られている．本研究課題では，これまでの一連の研究を踏まえ， 調和写像論と部分多様体の幾何学における対称性と安定性・モジュライの研究の深化と新たな展開を目指して研究推進する．
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| 研究実績の概要 |
前年度までの研究推進により，大仁田は，橋本要,Jong Taek Choとの共同研究では，Hopf束写像によるn次元四元数射影空間の極大次元全複素部分多様体の逆像である4n+3次元標準球面の極小部分多様体上の標準接続で，全複素部分多様体の第2基本形式の平行性とその逆像の第2基本形式の標準接続に関する平行性が同値になるものを具体的に構成した．その応用として，四元数射影空間内の第2基本形式平行な全複素部分多様体は四元数ケーラー対称対の等方表現の或る特異軌道であるR空間を射影であるという結果を得た．それに基づき，四元数ケーラー対称対に係るリー代数計算によって，全複素部分多様体を与えるR空間の分類,運動量写像の記述,複素ルジャンドレ部分多様体と極小ラグランジュ部分多様体の対応など進んでいる．8月韓国・釜慶大学校での国際ワークショップで講演，そのプロシーディングスで我々の研究の中間報告的な論文を出版したが，主論文である国際共著論文は執筆作業中である．11月早稲田で招へいのドイツ・Augsburg大学Ernst Heintze名誉教授と大変有意義な研究交流をもつことが出来た．可積分系に関わる調和写像研究に関しては，大仁田が代表を務めた13th MSJ-SI「微分幾何と可積分系」の実績・成果を活かし，引き続き米国UMASS AmherstのFranz Pedit教授と連携して，5月にスペイン・グラナダ大学IMAGでの国際ワークショップ“Minimal Surfaces in Symmetric Spaces”に参加・研究交流，2024年2月にはAntonio Ros教授などIMAGや高麗大学数学教室(KUMD)の研究グループを招聘して高松で国際会議を開催，また10月早稲田での応用解析研究会や3月末神戸大でのSpring Schoolでは，調和写像論に関するレクチャーを行い研究推進した．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
3: やや遅れている
理由
本年度（2024年度）は，四元数射影空間の全複素部分多様体とR空間に関する橋本要，Jong-Taek Choとの共同研究の中間報告として主結果のアナウンスメントや我々の計算に必要な四元数射影空間の四元数ケーラー幾何構造の設定など準備的内容を記した論文を，韓国での国際ワークショップのプロシーディングスに出版したが，主論文である国際共著論文執筆作業はやや遅れている．これは，研究代表者（大仁田）が2022年度末定年，2023年度より新たな職に就任で研究体制を整えるのに時間を要したという事情もある．研究期間当初（2021-2022年度）COVID-19禍の影響により，海外の関連研究グループへの訪問や海外共同研究者の招へいが出来なかった影響もあり，標準球面内の等径超曲面およびガウス像の幾何学研究や無限次元等径部分多様体研究もまだ十分に進んでいるとは言えない．
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| 今後の研究の推進方策 |
現在，新たな職場環境における研究代表者（大仁田）の研究体制はほぼ整っており，本研究課題の事業期間を1年延長して，国際共同共著論文を執筆完成させる．国内外の共同研究者らとの必要な研究連絡・打ち合わせも随時行って論文原稿検討・作成作業を促進する．また，COVID-19禍の影響で滞っていた，海外共同研究者（中国・清華大学Hui Ma教授など）との対面による研究交流も回復させて，等径超曲面およびそのガウス像の幾何学研究やHiggs束モジュライ空間やゲージ理論的アプローチ等の可積分系の観点からの調和写像研究を国内共同研究者らとも協力して推進する．また，国内研究者（東京都立大学学振PD・森本真弘氏ら）と協力してKac-Moody対称空間の幾何学の観点から無限次元等径部分多様体研究に取り組む．
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