| 研究開始時の研究の概要 |
3次元空間の中の閉じた紐を上から光を当てると平面の上に影が出来る。その影だけを見ながら紐の絡まりを研究するのが結び目理論である。この研究は,次元を上げて,4次元空間の中の曲面(曲面結び目)を3次元空間に写し,影を見ながら研究を行なう。この影は,交わりのある曲面で,2枚や3枚の曲面が交わっている。交わった部分だけを見ると,曲線が現れる。鎌田氏より,その曲線を更に平面に射影して,平面上で曲面結び目を描くことを可能にした(チャートという)。曲面結び目の分類のために,チャートの分類表を作成することを目的とする。手法は,コンピューターで効率よく不変量を計算し,その中から候補を見つけ,理論的に証明する。
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| 研究成果の概要 |
4次元空間内の曲面(曲面絡み目)を平面内のグラフ(チャートという)で表す手法が鎌田氏により開発された。チャートを用いて分類表を作成するのが目的である。2つの交差を含むチャートの大まかな分類は終わっている。完全な分類のために、この内、辺のラベルが1,2,3のみの4-チャートで、黒頂点が8個のものについて調べた。これらは無限個あり(同じ曲面絡み目を表すかもしれないが)、その半分のチャートが表す曲面絡み目が異なることを証明した。この結果はコンピュータを用いて、ある quandle の彩色数を計算して予想され、証明した。最小チャート(分類表に載せるべきチャート)かどうかはまだわかっていない。
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