| 研究課題/領域番号 |
21K03256
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分11020:幾何学関連
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| 研究機関 | 東海大学 |
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研究代表者 |
小川 竜 東海大学, 理学部, 講師 (90759143)
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| 研究期間 (年度) |
2021-04-01 – 2025-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2023年度)
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| 配分額 *注記 |
3,380千円 (直接経費: 2,600千円、間接経費: 780千円)
2024年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
2023年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
2022年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
2021年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
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| キーワード | conformal factor / orderability / displaceability / Liouville領域とWeinstein領域 / 接触収縮性とLiouville多様体の懸垂構成 / 凸接触構造と過旋性 / Liouville力学系と接触力学系 / Liouville構造とWeinstein構造 / Weinstein構造, Liouville構造 / Liouville力学系, 接触力学系 / 理想境界, 接触構造 / 測地流, 葉層構造 / ホモトピー原理 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
本研究ではシンプレクティック構造の中でも重要なクラスであるWeinstein構造とLiouville構造の柔軟性・剛性現象をトポロジー・力学系的な視点から解明する. とりわけ、測地流由来のLiouville構造について、そのシンプレクティック同相型および理想境界に現れるの接触構造に関する諸問題の解決に取り組む. これまでに代表者らによって得られた結果を精密化することでWeinstein構造・Liouville構造に関する未開拓領域に挑戦する.
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| 研究実績の概要 |
(1) 前年度に得られた結果を受けて、接触多様体の収縮性とLiouville領域の懸垂構成に関する研究を中心に進めた。特にLiouville領域の新たな例とそれに関する命題を得ることができた。これを一般化しようとする試みにおいて、接触多様体の(non-)orderabilityやLiouville領域の``displaceability''との関係が見えてきたことは興味深く、次年度以降も詳しく検証したい。その一方で、これまでの成果から扱える対象に限界があることが分かってきたため、より広いクラスの多様体を射程に入れることを目的として(McDuffのLiouville領域を念頭に)、収縮性の定義の拡張や構成の見直しをおこなっている。
(2) 関連する内容として、閉接触多様体における接触微分同相写像に対する``Lyapunov指数''を定義し、写像の力学系的性質を調べる研究をおこなった。特に曲面上の円周束など具体的な接触多様体に対して計算を実行し結果を得た。
(3) 小池貴之氏(大阪公立大学)との共著論文「On the neighborhood of a torus leaf and dynamics of holomorphic foliations」が Tohoku Mathematical Journalにアクセプトされた。複素曲面内の楕円曲線近傍が葉層化されているという設定で、葉層のホロノミーが近傍の複素解析的構造(上田型)をどのように決定するかという問題を論じている。無理的中立不動点で線形化不可能な場合に現れる不変集合(hedgehog)を用いて、楕円曲線周りの多重(劣)調和函数に関する性質を調べることが証明の鍵となる。divisor近傍の情報からシンプレクティック構造の大域的な性質を調べる研究に応用できないか今後検証したい。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
3: やや遅れている
理由
前年度進展した内容を受け、上に述べた幾つかの問題に挑戦してきた。いずれも本研究計画を遂行する上で意味のある問題であり、少しずつ進展して幾つかの結果が得られ始めている(中には期待されなかった結果もあるが進展と捉える)。論文としてまとめる作業は進めているものの完成には至っていないため、研究全体の進度としては停滞していると評価した。取り組む内容が少々散逸的になってしまったことも反省点として挙げられる。しかし新たな研究の芽が出てきているので、今後の中長期的な進展も見据えて引き続き研究を進めたいと考えている。
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| 今後の研究の推進方策 |
上で述べたように、今年度はより広いクラスの接触多様体やLiouville領域を射程に入れることを目的として、収縮性の定義を拡張したり構成法を見直すなどした。細かい結果は得られているものの、まだ本質的な理解には至っていない。しかしこの過程で、接触同相/埋め込みのconformal factorの零点集合を調べることが重要になることも分かってきた。次年度も引き続き調べる予定である。同時に、ここまで散発的に得られてきた結果を上手くまとめて論文の形として公表する。今年度は学会発表等が滞ってしまったことも反省しなければいけない点である。次年度は積極的に学会等で結果を発表し(すでに幾つか予定されている)、頂いた意見を踏まえながら結果をブラッシュアップする。
この数年、高次元接触多様体における凸超曲面論や接触部分多様体に関するの研究の進展が著しい。これらとの関連も視野に入れつつ研究を進める予定である。特に4次元以上の凸超曲面は基本的な問題が多く残されている。これまでの研究を踏まえた新しいアプローチを検討したい。
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