| 研究課題/領域番号 |
21K03257
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分11020:幾何学関連
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| 研究機関 | 東京女子大学 |
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研究代表者 |
大山 淑之 東京女子大学, 現代教養学部, 教授 (80223981)
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| 研究期間 (年度) |
2021-04-01 – 2025-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2022年度)
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| 配分額 *注記 |
2,080千円 (直接経費: 1,600千円、間接経費: 480千円)
2024年度: 520千円 (直接経費: 400千円、間接経費: 120千円)
2023年度: 520千円 (直接経費: 400千円、間接経費: 120千円)
2022年度: 520千円 (直接経費: 400千円、間接経費: 120千円)
2021年度: 520千円 (直接経費: 400千円、間接経費: 120千円)
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| キーワード | 仮想結び目 / 局所変形 / 仮想結び目不変量 / forbidden move / 結び目不変量 / 結び目の局所変形 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
結び目の射影図において、実交点だけではなく、仮想交点も考えたものを仮想結び目という。結び目を拡張した概念である。射影図上で、ある局所変形で移りあう結び目や仮想結び目の集合を考える。2つの結び目を局所変形で移すために必要な局所変形の最小回数は、結び目不変量を導 き、更に距離の公理を満たす。結び目の集合に距離空間の構造を入れることができる。この距離を決定することが結び目理論によって重要であり、この距離を決定するためには、結び目や仮想結び目の不変量による評価が必要となる。仮想結び目特有の多項式不変量により、上記距離による距離空間の性質を研究する。
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| 研究実績の概要 |
2つの(仮想)結び目が局所変形で移りあうとき、移りあうために必要な局所変形の最少回数は距離の公理を満たし、(仮想)結び目の集合に距離空間の構造 を入れることができる。局所変形による(仮想)結び目の距離空間の特徴を調べることが、本研究の目的の一つである。測地線グラフとは、頂点が(仮想)結び目であり、その(仮想)結び目をあらわす頂点同士のグラフ上での距離が(仮想)結び目の局所変形での距離と一致するグラフである。測地線グラフは、(仮想)結び目の局所変形による距離空間を可視化したものであり、局所変形による(仮想)結び目の距離空間がどの程度の大きさをもつか、判断することができる。局所変形として交差交換を考える。交差交換による仮想結び目の距離空間において、任意に次元の高い格子グラフが測地線グラフであることはすでに証明していた。
前年の令和3年度の成果の１つは、仮想結び目の代表的な不変量が自明な結び目と同じ値となり、交差交換1回で自明な結び目に変形できる非自明な仮想結び目が無限個存することを示したことであった。その証明において、条件をみたす仮想結び目が無限個存在することを示すために、仮想結び目の代表的な不変量よりも、さらに分類能力が高く、かつ計算が複雑な不変量をもちいた。令和４年度の成果は代表的な仮想結び目の不変量だけでなく、令和３年度の結果を導くために用いた分類能力が高い不変量も一致し、交差交換１回で自明な結び目となる仮想結び目が無限個存在することを示した。自明な結び目からの交差交換１の距離に、不変量の観点から自明な結び目に近い非自明な仮想結び目が無限個存在するのである。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
仮想結び目の局所変形による距離空間を研究するためには、仮想結び目の不変量の研究が重要である。令和４年度の結果は、交差交換による局所変形の距離空間において、自明な結び目を中心に距離１の仮想結び目の集合には、代表的な仮想結び目不変量だけでなく、仮想結び目の分類能力が高い特殊な仮想結び目不変量も自明な結び目と一致するような、不変量の観点から自明な結び目に近い仮想結び目が無限個存在するという興味深い結果が得られている。したがって、おおむね順潮に進展していると判断できる。
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| 今後の研究の推進方策 |
令和５年度の研究として、まず令和４年度に得られた結果を、局所変形forbidden moveによる仮想結び目の距離空間においても成立するか考察していく。仮想結び目が無限個存在することを示すには、特殊な仮想結び目不変量を用いる。令和４年度の結果を導くために、最近発見された分類能力が高く計算が大変複雑な不変量を用いた。この結果を得るために様々な仮想結び目を構成した。その際にこの最近発見された分類能力が特に高い不変量も自明な結び目に一致してしまう仮想結び目の例があった。この仮想結び目がはたして自明な結び目なのか、非自明な仮想結び目なのか調べることにより、さらに局所変形による仮想結び目の距離空間の研究を推進していく。
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