| 研究課題/領域番号 |
21K03275
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分12010:基礎解析学関連
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| 研究機関 | 岡山県立大学 |
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研究代表者 |
三谷 健一 岡山県立大学, 情報工学部, 教授 (00468969)
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| 研究分担者 |
小室 直人 北海道教育大学, 教育学部, 教授 (30195862)
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| 研究期間 (年度) |
2021-04-01 – 2025-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2023年度)
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| 配分額 *注記 |
2,600千円 (直接経費: 2,000千円、間接経費: 600千円)
2024年度: 520千円 (直接経費: 400千円、間接経費: 120千円)
2023年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
2022年度: 650千円 (直接経費: 500千円、間接経費: 150千円)
2021年度: 650千円 (直接経費: 500千円、間接経費: 150千円)
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| キーワード | バナッハ空間 / 幾何学的定数 / 幾何学的性質 / ノルム不等式 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
本研究では、バナッハ空間における単位球の幾何学的構造を調べるため、幾何学的性質の成立度合いを表す幾何学的定数を考察する。特に、具体的な空間における幾何学的定数の計算及び一般のバナッハ空間における幾何学的定数の相互関係を与える。また、三角不等式を中心としたノルム不等式の一般化・精密化を行い、これによりバナッハ空間の幾何学的性質を調査する。さらにバナッハ空間の幾何学的構造の視点から不動点理論の諸性質を考察する。
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| 研究実績の概要 |
令和5年度の実績は以下のとおりである。
1. バナッハ空間の幾何学的性質であるuniformly non-square (以下、UNSQ) 性とgeneralized inner productの対称性度合いを表すskewnessの関係について再考察し、Fitzpatrick-ReznickによるUNSQ性を用いたskewnessの特徴づけの結果をnorming functionalを用いても証明できることを示した。さらに、UNSQ性より弱い性質であるnon-square性についてもskewnessとの関係を与えた。
2. バナッハ直和空間lp(Xi)のUNSQ性を考察した。一般に、1<p<∞に対しlp(Xi)がUNSQであることとすべてのiでXiがUNSQであることが同値であることは成立しないことが知られている。本研究ではskewnessを用いてこの結果を再考察し、lp(Xi)のskewnessをXiのskewnessを用いて評価し、lp(Xi)のUNSQ性をXiのskewnessの上限を用いて評価した。この結果に関しては実解析学シンポジウム2023において成果発表を行った。
3. Day-James空間のある種の一般化であるBanas-Fraczek空間の幾何学的定数について考察した。Banas-Fraczek空間の双対ノルムと特定し、その結果からBanas-Fraczek空間のskewnessを計算した。さらに、Baronti-Papini(1992)によるskewnessとmodulus of smoothness との関係を表す不等式について考察し、Banas-Fraczek空間上においてこの不等式の等号が成立しないことを示した。成果発表に関してはLinear Nonlinear Anal. 9 (2023)に記載された。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
従来知られているバナッハ空間の諸性質の研究に関して、skewnessを中心とした幾何学的定数を用いて考察することでいくつかの結果を生み出すことができた。とくにBanach直和空間の幾何学的構造についての研究成果は予想以上の結果を得ることができた。昨年度までの研究を今年度以降も継続して行い、更なる進展を図りたい。特に、応用面に関しては幾何学的定数を用いた不動点理論に関する未解決問題へ取り組み解決に繋げていきたい。
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| 今後の研究の推進方策 |
前年度の研究成果を踏まえ、今年度以降に取り組むべき主要な課題は以下のとおりである。
1. Skewnessやそれに関係するバナッハ空間の幾何学的定数に関して、それぞれの定数の間の相互関係を一般のバナッハ空間に関して不等式の形などで表す。
2. Skewnessやそれに関係するバナッハ空間の幾何学的定数を用いた不動点理論への応用を行う。
3. 具体的なバナッハ空間における幾何学的定数の計算ならびに評価を行う。さらにこの結果を用いて上記の結果を検証する。
4. バナッハ空間の各種ノルム不等式を検証し、精密化・一般化を図る。
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