リーマン面間の正則写像の研究

• 研究課題/領域番号: 21K03287
• 研究種目: 基盤研究(C)
• 配分区分: 基金
• 応募区分: 一般
• 審査区分: 小区分12010:基礎解析学関連
• 研究機関: 東京工業大学
• 研究代表者: 田辺 正晴 東京工業大学, 理学院, 講師 (60272663)
• 研究期間 (年度): 2021-04-01 – 2026-03-31
• 研究課題ステータス: 交付 (2023年度)
• 配分額: 2,600千円 (直接経費: 2,000千円、間接経費: 600千円); 2025年度: 520千円 (直接経費: 400千円、間接経費: 120千円); 2024年度: 520千円 (直接経費: 400千円、間接経費: 120千円); 2023年度: 520千円 (直接経費: 400千円、間接経費: 120千円); 2022年度: 520千円 (直接経費: 400千円、間接経費: 120千円); 2021年度: 520千円 (直接経費: 400千円、間接経費: 120千円)
• キーワード: 複素解析 / リーマン面 / 正則写像

研究開始時の研究の概要

リーマン面と呼ばれるものが有る。これは、簡単に言えば、形は、球面、あるいは浮き輪の表面、２人乗り浮き輪の表面、更にはnを任意の自然数としてn人乗り浮き輪の表面、これらのどれかであり、各点の近傍が複素平面上のある開集合と同じと見れるものである。
リーマン面間の写像を考える。各点の近傍が複素平面上のある開集合と同じと見れるから、写像が各点で複素微分可能であるものを考えることができて、この様な写像をリーマン面間の正則写像という。
リーマン面間の正則写像については、単に連続な写像と比べて様々な制限があることが知られていて、この研究では、リーマン面間の正則写像について、新しい定理等を発見してゆく。

研究実績の概要

コンパクトリーマン面間の正則写像の剛性に関する緒性質を，ヤコビ多様体間の準同型の言葉で表現し，それら定理の結びつきについて，新しい視点を提供することを目指して研究を進めた．特に，種数2以上のコンパクトリーマン面間の正則写像について，ホモロジー群間に誘導される準同型による表現の研究を行った．
「種数2以上のコンパクトリーマン面X, Y間の正則写像の位数が素数であるとき，ホモロジー群間に誘導される準同型による表現は，X, Yで標準ホモロジー基底をうまく取れば，いくつかの行列表現のうちどちらかになる．」ことがH.H. Martensにより示されている．X, Yで標準ホモロジー基底をうまく取り，限られた行列表現（normal formと呼ばれる）に帰着させるという問題は，もともとはリーマン面の周期行列のreductionに関するポアンカレの研究から派生したものである．その後の研究でH.H. Martensの上の結果，normal formの数は２つの表現行列であることが示せていた．これを発展させて，結局正則写像の位数が素数であるときは，「標準ホモロジー基底をうまく取ればの」部分は正則自己同型であり，正則写像の数は，normal formの数２つに，X，Yの正則自己同型の数を掛けたもの以下であると予想し，証明を考えてきた．結果としては，まだ成功していない．

現在までの達成度 (区分)

4: 遅れている

理由

この問題に関して，これまでに知られている手法は全て試したように思うが，それでも特には進展が得られなかった．全く別の切り口，手法を思いつくことが必要であると感じている．

今後の研究の推進方策

種数2以上のコンパクトリーマン面間の正則写像について，位数が素数とは限らない場合のホモロジー表現についても考えてみる．また，コンパクトな面に限らず，ノード付きリーマン面もこの問題での研究対象とすることも考える．ノード付きリーマン面に関しては，上記のnormal formの様な研究は見当たらないので，研究対象として十分価値あるものと思われる．