| 研究課題/領域番号 |
21K03289
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分12010:基礎解析学関連
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| 研究機関 | 金沢大学 |
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研究代表者 |
松谷 茂樹 金沢大学, 電子情報通信学系, 教授 (30758090)
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| 研究期間 (年度) |
2021-04-01 – 2026-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2023年度)
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| 配分額 *注記 |
2,990千円 (直接経費: 2,300千円、間接経費: 690千円)
2025年度: 520千円 (直接経費: 400千円、間接経費: 120千円)
2024年度: 520千円 (直接経費: 400千円、間接経費: 120千円)
2023年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2022年度: 520千円 (直接経費: 400千円、間接経費: 120千円)
2021年度: 520千円 (直接経費: 400千円、間接経費: 120千円)
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| キーワード | アーベル関数 / 代数関数 / 超楕円関数 / σ関数 / DNA超らせん構造 / MKdV方程式 / 非線形シュレディンガー方程式 / 代数曲線 / 非線形可積分方程式 / 相補加群 / デデキント差積 / ワィエルシュトラス標準形式 / アーベル関数論 / 可積分系 / 弾性曲線 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
本研究の最終目標は「Tata Lecture of Theta II」(1982)でのMumfordのプログラムを拡張し「高次種数の複素代数曲線のAbel関数論を応用にむけ再構築し，可積分系と関連付けることにより，Abel関数を楕円関数と同レベルで数学・諸科学技術の発展に寄与できるものにする」ことである．本研究期間では，1) Weierstrassの楕円σ関数の一般の閉Riemann面へ拡張・構築，2) 得られたσ関数により曲線の退化，空間曲線、Galois群の作用に着目した可積分系（一般弾性曲線，dKP, KP，戸田方程式）を考察することで，新たな方程式や解構造の提示を目指す．
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| 研究実績の概要 |
2023年度は、2022年度に公表した一般の閉Riemann面でのσ関数の代数的構築をベースに，書籍の執筆に注力した．１冊は，専門家向けの英文書籍「The Weierstrass sigma function in higher genus and applications to integrable Equations]でありSpringer社のMonographとして査読を受け，2024年か25年に出版することになった．他方，初心者向けの和文の書籍として「超楕円関数への招待: 楕円関数の一般化とその応用」(近代科学社)の執筆を行った．2024年7月末の出版予定となっている．
本研究に関する講演「一般の閉リーマン面上のワィエルシュトラスσ関数の代数的構成」を，佐賀創発数理セミナーと沼津改め静岡研究会で行った．σ関数を活用した可視化の論文と非線形シュレディンガー方程式の論文を作成し、preprintサーバーに掲載した．また，本研究の応用として，DNAの形状に関わる問題である実MKdV方程式の実超楕円関数解の導出を行い，種数3について論文を投稿し，preprintサーバーに掲載した．弾性曲線の統計力学との関係の論文"Statistical mechanics of elastica for the shape of supercoiled DNA: hyperelliptic elastica of genus three"に関してはPhysica Aに掲載が決まっている．
また、広い意味の数学の社会への還元の立場では、ICIAM 2023（早稲田大学）のミニシンポジュウム"On application of principle curvature distribution in local differential geometry"を主催し, "Fullerene and discrete principal curvature"という題名の講演と，九州大学IMIで研究集会「材料科学における代数と幾何」を主催し、「幾何と代数とナノカーボン材料」という題目で講演を行った．関連する加葉田 雄太朗氏， 緒方 勇太氏との共著の論文"On discrete constant principal curvature surfaces"はComput. Aided Geom. Des. に掲載が決まっている．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
2022-25年空間曲線や特異点論（特異曲線論）及びGalois群の可積分系への応用に関しては，数値計算による可視化方法を発見し，preprintとした，これをベースに研究進めることができると考えている．また，協力研究者である米田二良氏とは３ヶ月に一回ほど議論をさせて頂いており，問題の整理が進んだ．
2022年に判明した実MKdV方程式の実超楕円関数解の問題は非常に難しく，今後も継続して研究を進めることが必要であると考えるが，種数３でそれなりの結果を得たので，これを継続して検討する．
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| 今後の研究の推進方策 |
2023年度の「空間曲線論の可積分系への応用」と「特異点論（特異曲線論）の知見，及びGalois群の作用の可積分系への応用」の計画に従い、2023年に得られた実超越平面曲線の研究を通して，実性などを加味した研究を行い，σ関数の代数的構築により得られた知見を基に可積分系への還元を目指す。
また，書籍の執筆，出版を通して、本研究での知見を広めることを目指す．
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