| 研究課題/領域番号 |
21K03289
|
|---|
| 研究種目 |
基盤研究(C)
|
| 配分区分 | 基金 |
|---|
| 応募区分 | 一般 |
|---|
| 審査区分 |
小区分12010:基礎解析学関連
|
|---|
| 研究機関 | 金沢大学 |
|---|
研究代表者 |
松谷 茂樹 金沢大学, 電子情報通信学系, 教授 (30758090)
|
|---|
| 研究期間 (年度) |
2021-04-01 – 2026-03-31
|
| 研究課題ステータス |
交付 (2024年度)
|
| 配分額 *注記 |
2,990千円 (直接経費: 2,300千円、間接経費: 690千円)
2025年度: 520千円 (直接経費: 400千円、間接経費: 120千円)
2024年度: 520千円 (直接経費: 400千円、間接経費: 120千円)
2023年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2022年度: 520千円 (直接経費: 400千円、間接経費: 120千円)
2021年度: 520千円 (直接経費: 400千円、間接経費: 120千円)
|
|---|
| キーワード | 代数関数 / 代数曲線 / 非線形可積分方程式 / σ関数 / 実値構造 / 弾性曲線 / アーベル関数 / 超楕円関数 / DNA超らせん構造 / MKdV方程式 / 非線形シュレディンガー方程式 / 相補加群 / デデキント差積 / ワィエルシュトラス標準形式 / アーベル関数論 / 可積分系 |
|---|
| 研究開始時の研究の概要 |
本研究の最終目標は「Tata Lecture of Theta II」(1982)でのMumfordのプログラムを拡張し「高次種数の複素代数曲線のAbel関数論を応用にむけ再構築し，可積分系と関連付けることにより，Abel関数を楕円関数と同レベルで数学・諸科学技術の発展に寄与できるものにする」ことである．本研究期間では，1) Weierstrassの楕円σ関数の一般の閉Riemann面へ拡張・構築，2) 得られたσ関数により曲線の退化，空間曲線、Galois群の作用に着目した可積分系（一般弾性曲線，dKP, KP，戸田方程式）を考察することで，新たな方程式や解構造の提示を目指す．
|
| 研究実績の概要 |
２０２４年度は，２０２２年度に公表した一般の閉リーマン面でのσ関数の代数的構築をベースに，書籍の出版と超楕円実解の研究に注力した．
初心者向けの和書として２０２４年７月に「超楕円関数への招待ー楕円関数の一般化とその応用ー」を 近代科学社から出版し．専門家向けの洋書として２０２５年３月に「The Weierstrass sigma function in higher genus and applications to integrable equations」をＳｐｒｉｎｇｅｒ社から出版した．
本研究の主眼である代数関数論の可積分方程式への応用としては，ＫｄＶ方程式，ＭＫｄＶ方程式と，非線形シュレディンガー方程式(ＮＬＳＥ)の超楕円曲線に関わる実数解を考察し，その構成方法を論文として出版した．特に複素数体上で構成された超楕円ＭＫｄＶ方程式解から実数解を構成するテーマに関しては，複素数体上のＭＫｄＶ方程式から自然に得られるゲージ場つきＭＫｄＶ方程式を通してその実数解を種数３で成功した．その際，その超楕円曲線の２重被覆に関わる，楕円積分の角度表示の拡張の明示的構成が重要となることが判った．また実解の構築に際しては，アーベル積分のグラフ構造に着目することによる数値的に表現する新規のアルゴリズムを発見し，数値的に表現した．その応用として弾性曲線の統計力学に関わるＤＮＡの形状の数値的再現に関わる論文を１つ出版し，１つをプレプリント・サーバーに掲載した．得られた形状は，実験室で得られた実測のＤＮＡの超らせん構造と類似の特徴を持つことを示した．また，それらの結果は津田塾大学，都立大学，静岡大学での研究会で講演を通して示した．
また，これらの研究には直接かかわるものではないが，幾何的および代数的考察の応用として，材料科学における炭素系に関わる幾何学的考察して，論文２本を出版し，社会科学との関連として１本の論文を出版した．グラフ理論的な幾何学のそれぞれの分野での重要性を指摘した．
|
| 現在までの達成度 |
現在までの達成度
2: おおむね順調に進展している
理由
2022-25年空間曲線や特異点論（特異曲線論）及びGalois群の可積分系への応用に関しては，超楕円曲線の2重被覆構造の可積分系への応用に注力した．特に， KdV方程式の実解，集光型の変形KdV方程式に関わる複素数体上の種数３の超楕円曲線の角度形式でのアーベル積分（超楕円積分）についての考察と，非線形シュレディンガー方程式の代数幾何的構成を行った． そこではヤコビ多様体内の特異な部分代数多様体の存在や群構造が実解の構成において重要な役割をもつことが判ってきている．
これはDNAの超らせん構造（弾性曲線の励起状態）にも関わるものであると共に，弾性曲線の統計力学の進展に寄与するものであり，現在，種数gに拡張している．
|
| 今後の研究の推進方策 |
「空間曲線論の可積分系への応用」と「特異点論（特異曲線論）の知見，及びGalois群の作用の可積分系への応用」の計画に従い，2024年に得られた種数３の複素超楕円曲線に関する研究を，種数gへの拡張し，可積分系，特に変形KdV方程式の高次解への還元を目指す．また，その際に重要な役割を示すヤコビ多様体内に実現される部分代数多様体の代数幾何的な構造について考察する．
また，書籍の執筆，出版を通して，本研究の知見を広く共有されることを目指す．
|
