| 研究課題/領域番号 |
21K03294
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分12010:基礎解析学関連
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| 研究機関 | 鳥取大学 |
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研究代表者 |
井上 順子 鳥取大学, 教育支援・国際交流推進機構, 教授 (40243886)
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| 研究期間 (年度) |
2021-04-01 – 2025-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2023年度)
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| 配分額 *注記 |
3,120千円 (直接経費: 2,400千円、間接経費: 720千円)
2024年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
2023年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
2022年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
2021年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
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| キーワード | 可解リー群 / 非可換調和解析 / Lp-フーリエ変換 / 複素解析的誘導表現 / ユニタリ表現 / 表現論 / フーリエ変換 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
可解リー群の表現の構成と分解、および群環の構造の解析とその応用において次の問題を扱う。
(1) 指数型可解リー群において、一般の複素部分リー環から複素解析的誘導表現を構成し、その既約分解と超関数の意味でのフロベニウス相互律を調べる。
(2) 群環および群環の表現の解析として、(2-1) 特に指数型可解リー群を対象に、群環の構造に関わる基本性質を軌道法を用いて調べる。(2-2) リー群のLpフーリエ変換（1 < p < 2）のノルムおよび極値関数について調べる。冪零および可解リー群におけるノルム評価の精密化、さらに対象とする群を拡げて群拡大とノルムの関連等を調べる。
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| 研究実績の概要 |
指数型可解リー群の複素解析的誘導表現：指数型可解リー群に対して、リー環の線形形式fとfに付随する交代双一次形式に関する（polarizationとは限らない一般の）等方的複素部分リー環hをとり、複素解析的誘導表現ρを構成し既約分解を調べる問題については、分解に関わる既約表現における、h-半不変な一般ベクトルに付随する行列要素の解析に重点をおいて研究を進めた。対象とする各既約表現をKirillov-Bernat対応に基づき実polarizationからのMackey誘導により等質空間上のL^2関数の空間に実現し、複素解析的誘導ρが定めるhの作用に対し半不変性をもつ一般ベクトルおよびその行列要素を介して既約分解を記述するという方針である。低次元の群における例など、群の代数的な構造を具体的に与えたこれまでの計算例においては、既約表現の表現空間においてh-半不変ベクトルを具体的に記述でき、表現ρが零表現でないための条件やρの既約分解をそれぞれ求めることができる。一方、これまで得られた計算結果において、表現と余随伴軌道の関係はかなり複雑である。また、超関数の意味での「フロベニウス相互律」は成り立つ場合と成り立たない場合がある。これら一連の計算例について２０２３年９月開催の大阪公立大学でのworkshop、および２０２３年11月開催のモナスティル（チュニジア）での研究集会において講演発表・議論を行い、さらに考察を進めているところである。
Lpフーリエ解析：ユニモジュラー、I型局所コンパクト群上のLpフーリエ解析については、前年度に行ったBaklouti氏（スファックス大学）との研究議論に基づき、一般のユニモジュラー群拡大を対象にLpフーリエ変換のノルムの上からの評価の改良を目指して計算を進めている。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
3: やや遅れている
理由
Lpフーリエ変換のノルム評価については、前年度に引き続き一般のユニモジュラー群拡大を対象に研究を進めているが、一般化に伴う計算や証明の細部の検討に時間がかかっている。また、複素解析的誘導表現の構成と分解における「相互律」の問題については、各計算例において余随伴軌道との関連が複雑で未整理の状態であり、今年度の段階ではまだ十分に一般性のある結果が得られていない。
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| 今後の研究の推進方策 |
Lpフーリエ変換のノルム評価については、引き続き一般のユニモジュラー群拡大を対象として、ノルム評価の改良を目指す。これまでの研究でコンパクト拡大に対して得られた結果を一般のユニモジュラー群拡大に拡張することを目標とする。
複素解析的誘導表現の研究では、冪零および指数型可解リー群における様々なクラスの群を取り上げ、既約表現の表現空間における半不変一般ベクトルの空間の決定とこれに付随する行列要素の具体的な計算を行う。
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