| 研究課題/領域番号 |
21K03295
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分12010:基礎解析学関連
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| 研究機関 | 広島大学 |
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研究代表者 |
下村 哲 広島大学, 人間社会科学研究科(教), 教授 (50294476)
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| 研究期間 (年度) |
2021-04-01 – 2026-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2023年度)
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| 配分額 *注記 |
4,030千円 (直接経費: 3,100千円、間接経費: 930千円)
2025年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2024年度: 650千円 (直接経費: 500千円、間接経費: 150千円)
2023年度: 650千円 (直接経費: 500千円、間接経費: 150千円)
2022年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
2021年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
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| キーワード | ソボレフ関数 / 楕円型偏微分方程式 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
ポテンシャル論は、函数論、偏微分方程式論、確率論などと深く結びつきながら発展してきて、物理学や工学においても重要な応用を持つ研究分野である。楕円型偏微分方程式の解について、存在と一意性、正則性などの解析的な性質を研究する方法はいくつかあるが、ペロンの方法に代表されるポテンシャル論的方法はその有力なものの一つである。特にソボレフ空間とそれに付随する容量の概念は、方程式の弱解の正則性を調べ、それが強解であるかどうかを判定するのに欠かせない道具である。そこで、ソボレフ関数を利用して、楕円型偏微分方程式の解がもつ解析的な性質をポテンシャル論的方法により研究していこうとするのが、本研究の目的である。
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| 研究実績の概要 |
本研究の目的は、ソボレフ関数を利用して、楕円型偏微分方程式の解がもつ解析的な性質をポテンシャル論的方法により研究することである。本年度は次のような研究を行った。
積分形のMusielak-Orlicz-Morrey空間におけるソボレフの不等式について成果を得た。Musielak-Orlicz-Sobolev関数に対するソボレフの不等式、Musielak-Orlicz-Morrey空間上の分数冪極大作用素に対するソボレフ型可積分性、半空間における変動指数をもつMorrey空間に属する関数のリースポテンシャルに対するソボレフ型不等式、Morrey-Orlicz空間に属する関数のリースポテンシャルに対するVanishing Morrey 可積分性について成果を得た。
non-doubling 測度空間上のMusielak-Orlicz-Morrey空間におけるリースポテンシャルに対するTrudinger型の指数積分不等式、距離空間上の変動指数をもつ２重層汎関数に対する一般化されたリースポテンシャルの連続性に関して成果を得た。
一般化された２重層汎関数に対して、分数冪極大作用素やリースポテンシャルに対するソボレフ型不等式やTrudinger型の指数積分不等式に関して成果を得た。２重層汎関数に対するHardy-Sobolevの不等式、Orlicz空間に属する関数のリースポテンシャルに対するHardy-Sobolevの不等式、重み付きOrlicz空間におけるHardy-Sobolevの不等式とHardy-Trudingerの不等式について成果を得た。
変動指数をもつリースポテンシャルに対するHardy-Littlewood-Sobolevの定理、Musielak-Orliczディリクレエネルギー積分に対するdouble obstacle problemの解についても成果を得た。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
1: 当初の計画以上に進展している
理由
積分形のMusielak-Orlicz空間やMusielak-Orlicz-Morrey空間などの関数空間において、ソボレフの不等式について成果を得た。２重層汎関数に対するHardy-Sobolevの不等式に関する結果、２倍条件を仮定しないnon-doubling measure空間上のMusielak-Orlicz-Morrey空間におけるリースポテンシャルに対するTrudinger型の指数積分不等式などに関して成果を得た。このように、本年度予定していた以上の成果を得ることができたから。
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| 今後の研究の推進方策 |
今後は、本年度に得た結果の証明のアイディアをもとに、non-doubling測度距離空間上のMusielak-Orlicz空間やMusielak-Orlicz-Morrey空間におけるソボレフ型定理を発展させたい。さらに、応用として２重層汎関数、３重層汎関数や一般化された２重層汎関数に対する結果も発展させる予定である。
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