| 研究課題/領域番号 |
21K03298
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分12010:基礎解析学関連
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| 研究機関 | 青山学院大学 |
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研究代表者 |
松本 裕行 青山学院大学, 理工学部, 教授 (00190538)
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| 研究期間 (年度) |
2021-04-01 – 2025-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2023年度)
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| 配分額 *注記 |
1,950千円 (直接経費: 1,500千円、間接経費: 450千円)
2023年度: 650千円 (直接経費: 500千円、間接経費: 150千円)
2022年度: 650千円 (直接経費: 500千円、間接経費: 150千円)
2021年度: 650千円 (直接経費: 500千円、間接経費: 150千円)
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| キーワード | 拡散過程 / ブラウン運動 / オルンシュタイン-ウーレンベック過程 / 正定値行列 / 擬等角写像 / 対称空間 / 生成作用素 / 確率解析 / 確率過程 / 多様体 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
二次元拡散過程に関しては，一次元拡散過程と擬等角写像の理論を参考に滑らかな場合の結果の整理から始める．測度に基づいて拡散過程を構成することは容易でないと思われるが，初年度は例を作りたい．2年目以降は一般論の構築に向かうが，得られている結果の公表も考慮したい．
正定値行列の空間上の拡散過程に関しては，固有値に関する考察を進め初年度中に論文の形での結果の公表を試みる．2年目以降は，一般の対称空間上の拡散過程への一般化，とくに長時間挙動に関して研究を進める．
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| 研究実績の概要 |
ブラウン運動の球面への到達時刻と到達場所の同時分布に関して，その確率密度の具体形を球面調和関数を用いて与えた．結果を論文の形にして投稿し受理された．確率密度を，ベッセル過程の到達時刻の確率密度と球面上の確率測度の重ね合わせて書くことによって，従来得られていなかった時間パラメータを大きくしたときの漸近挙動を与えることに成功したことが成果の一つである．
オルンシュタイン-ウーレンベック確率過程に対して，球面への到達時刻と到達場所の同時分布が確率密度をもつことを示し，その具体形を与えることに成功した．結果は上述のブラウン運動の場合対する結果を用いた自然なもので，やはり時間パラメータを大きくしたときの漸近挙動を与えることができた．成果は数学会や研究集会において発表して多くの研究者と研究連絡を行った後，確率論の専門誌に投稿した．
ブラウン運動と同じ調和測度をもつ確率過程は，2次元の場合に生成作用素が滑らかな係数をもつ2次の偏微分作用素であれば，あるリーマン計量に対応するラプラス-ベルトラミ作用素であることを以前示した．一方，リース測度との関係があることを最近知り，これらを総合的に理解しようと試みている．
研究課題にあげたセルバーグ跡公式に関しては，正定値行列のなす対称空間上で新しい跡公式を示そうとしたが特筆すべき進展はなかった．ラプラス-ベルトラミ作用素に対応する拡散過程を有力な道具として用いることができると考えている．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
ブラウン運動，オルンシュタイン-ウーレンベック過程の球面への到達時刻と到達場所に関する研究は，当初の予想よりきれいな形に書けることが分かり前者は論文の形で発表できることになった．ブラウン運動の管状近傍の研究は予想通りに進んでいる．
これらの研究に時間と労力をさいたために，2次元拡散過程やセルバーグ跡公式の研究に労力を注入できなかったことが残念である．
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| 今後の研究の推進方策 |
オルンシュタイン-ウーレンベック過程の到達時刻と到達場所に関する研究を基礎に，その管状近傍の研究に進みたい．空間的な一様性がないことを克服する議論が不可欠だと考えている．
2次元拡散過程に関しては，リース測度との関係を詳細に検討して，擬等角写像との関係も含めて総合的な理解が得られると考えている．
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