| 研究課題/領域番号 |
21K03322
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分12020:数理解析学関連
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| 研究機関 | 富山大学 |
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研究代表者 |
藤田 安啓 富山大学, 学術研究部理学系, 教授 (10209067)
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| 研究期間 (年度) |
2021-04-01 – 2025-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2023年度)
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| 配分額 *注記 |
3,120千円 (直接経費: 2,400千円、間接経費: 720千円)
2024年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
2023年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
2022年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
2021年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
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| キーワード | Hamilton--Jacobi flow / 初期値の至る所微分不可能性 / 病的函数の間に生じる差 / 逆問題 / 正則効果 / 病的函数 / Hamilton-Jacobi flow / 至る所微分不可能 / 放物線群 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
本研究では、実数直線上で定義された連続かつ周期1を持つ函数を初期値とするHamilton-Jacobi flowの挙動から、初期値である函数のどのような性質が導かれるかという逆問題を考える。初期値である函数の性質から、それを初期値とするHamilton-Jacobi flowの挙動を調べる順問題は広く研究されている。しかしながら、この逆問題についてはほとんど調べられていないようである。
本研究の目的は、初期値である函数の性質として、至る所微分不可能性がそれを初期値とするHamilton-Jacobi flowの挙動から導びかれることを示すことである。関連するさまざまな問題も調べて行きたい。
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| 研究実績の概要 |
研究実績の概要は、病的函数からなるある顕著なクラスを決めて、このクラスの函数を初期値としてあるHamilton-Jacobi flowを走らせると、このflowの中に興味深く重要ないくつかの性質が現れることを明らかにすることができたということである。このことについて、詳しく説明していく。
まず、2020年度に発表した論文の中で、上記のような顕著なクラスの函数を初期値とするHamilton-Jacobi flowはすべての時間で考えている区間において区分的に２次函数となることを示した。その後、2022年度に発表した論文の中で、このHamilton-Jacobi flowがすべての時間で考えている区間において区分的に２次函数となるならば、最初に考えている分割が悪いものでなければ、初期値はこの顕著なクラスの函数であることを示した。
次に、2023年の5月頃に、Weierstrass函数もこのクラスに入ることを示せて、病的函数の代表選手である高木函数もWeierstrass函数もこのクラスの要員であることが分かった。すると、次の興味はこの２つの函数の間に差があるかということになった。今年度の最大の成果は、高木函数とWeierstrass函数のHamilton-Jacobi flowの間には明確な差があることを示したことである。すなわち、高木函数のflowでは高周波の部分が時間と共になくなっていくが、Weierstrass函数ではこのような現象が起こらない。これは、高木函数では等式で成立するflowに関する関係式が、Weierstrass函数のflowでは真の不等式で成立することに起因している。また、高木函数とWeierstrass函数で代表されるより一般的な函数の間にもこのような差が存在することも示すことができた。
これらをまとめて論文投稿の段階にあるというのが現在の概要である。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
今年度(2023年度)は、研究の最大の目標のひとつであったHamilton-Jacobi flowを使った病的函数の間に生じる差に関する結果のまとめとそれに関する論文の投稿の予定であった。しかし、論文にするための結果は早い段階で得られたが、以下の理由により論文の投稿は来年度(2024年度)の5月末ぐらいになっていしまいそうである。そのため、研究の進捗状況は「おおむね順調に進展している」の段階に留まる。以下にその理由を簡潔に書いてみる：
理由1：結果の熟成に時間がかかり、また論文を纏める方向性が何度か揺れたことである。数学的な結果は2023年の5月ぐらいにほぼ出尽くしたが、それをより良いものにするための時間がかなりかかってしまった。また、ある程度熟成ができてからも、何を主題にするかで相当右往左往してしまった。2024年の3月ぐらいになって進むべき方向性が固まり本格的に書き始めることができた。これらが素早い論文投稿に至らなかった最初の理由である。
理由２：世の中のコロナ騒動は収まっては来たが、依然コロナ感染のリスクもありまたインフルエンザ感染のリスク、教育や大学の運営上の作業などにより2024年3月までは論文に集中して向き合う時間がかなり制限されていたことが第２の理由である。
以上に、研究の進捗状況が「おおむね順調に進展している」の段階に留まる理由を書いたが、研究の面で良かった点も挙げてみる。それは、2024.01.22に九州における偏微分方程式研究集会で発表できたことである。これは、招待講演であり、またこの研究集会は偏微分方程式論の大きな研究集会である。講演は、好評であり、終了後の休み時間までもたくさんの質問を受けた。これにより、論文の進むべき方向性をある程度確定できたという意味で重要な講演であった。
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| 今後の研究の推進方策 |
まず、最初にすることは来年度(2024年度）のゴールデンウイーク過ぎの早い時期に論文を投稿することである。来年度が、本研究の最終年度であることを考慮すると、投稿・レフェリーによる査読・その後の修正を考えると来年度のゴールデンウイーク過ぎの投稿でも遅いかもしれないが、何とか年度内の論文のアクセプトを実現したい。
つぎに、今年度までに得られた結果をなるべく多くの人たちに知ってもらうためにも、出来るだけ多くの研究集会やセミナー等で講演をして来たい。2024.01.22に九州における偏微分方程式研究集会で発表して、講演は極めて好評であり、終了後の休み時間までもたくさんの質問を受けたことを考えると、論文の進むべき方向性に間違いがないことが確認できている。今後、発表の仕方に更なる工夫を加え、よりよい発表ができるように心掛けたい。
最後に、研究協力者の山口範和氏や浜向直氏、そして海外協力者のAntonio Siconolfi氏たちと連絡を密に取りたい。論文投稿ですべてが終わるわけではなく、revisedや rejectedで返事が返って来ることも考慮に入れながら、可能な限り論文の修正や改良に目を向けるとともに、更なる新しい結果を得ることや現在の結果の改良が得られないかを考えながら、返事が戻ってくる日に備えたい。もちろん、得られている結果の正しさの確認にも目配りしたい。そのためにも、まずはより良い形での早期の論文投稿を目指すのが第一歩であると強く認識している。
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