| 研究課題/領域番号 |
21K03325
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分12020:数理解析学関連
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| 研究機関 | 大阪大学 |
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研究代表者 |
水谷 治哉 大阪大学, 大学院理学研究科, 准教授 (10614985)
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| 研究期間 (年度) |
2021-04-01 – 2026-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2023年度)
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| 配分額 *注記 |
4,030千円 (直接経費: 3,100千円、間接経費: 930千円)
2025年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
2024年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
2023年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
2022年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
2021年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
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| キーワード | 4階シュレディンガー作用素 / 波動作用素 / 非線形シュレディンガー方程式 / 長距離散乱 / 修正散乱 / ハイゼンベルグ群 / 準ラプラシアン / 星型グラフ / 一様レゾルベント評価 / 分数階シュレディンガー作用素 / 高階シュレディンガー作用素 / ストリッカーツ評価 / 平滑化作用 / レゾルベント評価 / 重みつき有界性 / シュレディンガー方程式 / 偏微分方程式 / 一般化シュレディンガー方程式 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
ポテンシャルを伴う高階シュレディンガー方程式や準相対論的シュレディンガー方程式を含む, 高次・分数次の量子効果を取り入れた一般化線形シュレディンガー方程式に対して, ストリッカーツ評価, 分散型評価, 波動作用素の有界性などの実解析的性質を明らかにし, それらを対応する高次・分数次の非線形分散型方程式の初期値問題および散乱理論に応用する.
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| 研究実績の概要 |
研究計画に基づき、以下の2点について研究を行なった。
1. 波動作用素の有界性（Xiaohua Yao 氏、Zijun Wan 氏との共同研究）：前年度に引き続き、空間3次元4階シュレディンガー方程式に対する波動作用素のルベーグ空間における有界性について考察した。ゼロエネルギーが正則である場合にはすでに結果が知られているが、今回はゼロエネルギーが特異である場合に波動作用素が有界であるようなルベーグ指数を特異性の度合いを用いて特徴づけた。この結果は論文にまとめ現在投稿中である。
2. 非線形シュレディンガー方程式の修正散乱理論（川本昌紀 氏との共同研究）：線形ポテンシャルおよび非線形項がともに長距離型であるような、非線形シュレディンガー方程式（NLS）に対する修正散乱理論を空間2次元と2次元において考察した。時刻無限大における十分小さな漸近系を与えたとき、終値問題の大域解と修正波動作用素が構成できることを証明した。漸近系は自由解と比べて非線形項とポテンシャルの長距離部分のどちらにも依存する位相の修正項をもつ。このような、線形・非線形長距離項を同時にもつNLSの修正散乱理論の解析はこれが初めてである。この結果は論文としてまとめ現在投稿中である。
3. ハイゼンベルグ群上のスペクトル解析（Luca Fanelli 氏、Luz Roncal 氏、Nico Schaivone 氏との共同研究）：前年度考察した、ハイゼンベルグ群上の準ラプラシアンに対する一様レゾルベント評価を作用素解析によって定義される分数冪準ラプラシアンおよび共形不変な分数冪準ラプラシアンに対して拡張した。これは現在論文を執筆中である。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
研究計画で予定していた高階シュレディンガー作用素に対する波動作用素の解析が順調に進んでいる。今回得られた手法は4階のみならずより高階のシュレディンガー作用素に対しても適用できると期待している。また、非線形問題への応用についてもいくつかの興味深い結果が得られており、研究計画は概ね順調に進展していると考えられる。
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| 今後の研究の推進方策 |
以下の2点を計画している。
1. 高階非整数べきシュレディンガー作用素に対する波動作用素の有界性を考察する。特に、ポテンシャルが小さい場合に谷島の結果 (1994) の拡張を試みる。
2. 非線形散乱問題に関して、今年度得られた修正散乱に関する結果の空間1次元への拡張を計画している。空間1次元の場合、2、3次元において本質的な役割を果たしたストリッカーツ評価が成り立つかどうかわからない。そこで、ストリッカーツ評価の証明と、共形変換とソボレフ埋め込みを用いた別証明の二つの点から解析を試みる。
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