| 研究課題/領域番号 |
21K03325
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分12020:数理解析学関連
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| 研究機関 | 大阪大学 |
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研究代表者 |
水谷 治哉 大阪大学, 大学院理学研究科, 准教授 (10614985)
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| 研究期間 (年度) |
2021-04-01 – 2026-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2024年度)
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| 配分額 *注記 |
4,030千円 (直接経費: 3,100千円、間接経費: 930千円)
2025年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
2024年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
2023年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
2022年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
2021年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
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| キーワード | シュレディンガー方程式 / 非線形シュレディンガー方程式 / 高階シュレディンガー方程式 / 散乱理論 / 修正波動作用素 / ストリッカーツ評価 / 平滑化作用 / 4階シュレディンガー作用素 / 波動作用素 / 長距離散乱 / 修正散乱 / ハイゼンベルグ群 / 準ラプラシアン / 星型グラフ / 一様レゾルベント評価 / 分数階シュレディンガー作用素 / 高階シュレディンガー作用素 / レゾルベント評価 / 重みつき有界性 / 偏微分方程式 / 一般化シュレディンガー方程式 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
ポテンシャルを伴う高階シュレディンガー方程式や準相対論的シュレディンガー方程式を含む, 高次・分数次の量子効果を取り入れた一般化線形シュレディンガー方程式に対して, ストリッカーツ評価, 分散型評価, 波動作用素の有界性などの実解析的性質を明らかにし, それらを対応する高次・分数次の非線形分散型方程式の初期値問題および散乱理論に応用する.
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| 研究実績の概要 |
研究計画に基づき、以下の2点について研究を行なった。
1. 非線形シュレデンガー方程式の修正散乱理論（川本昌紀氏との共同研究）。前年度に引き続いて、長距離型線形ポテンシャルを伴う非線形シュレディンガー方程式の解析を行い、空間1次元で3次の非線形項を持つ非線形シュレディンガー方程式に対して、散乱データが十分に小さい場合に修正波動作用素の構成を行った。特に、これまでの結果では斥力型ポテンシャルを持つ場合のストリッカーツ評価を証明で本質的に用いていたが、今回はソボレフの埋め込みを基礎とするエネルギー評価を用いることで、ストリッカーツ評価を用いない簡明な証明を与えた。これにより、前回は排除していた負の固有値をもつ長距離線形ポテンシャルなど、より物理的に自然な対象を扱えるようになった。この結果は国際雑誌に投稿中である。
2. 高階シュレディンガー方程式に対する時間大域的平滑化作用とストリッカーツ評価（Xiaohua Yao 氏との共同研究）。狭義短距離型線形ポテンシャルを伴う高階シュレディンガー方程式の解に対して、加藤型平滑化作用とストリッカーツ評価を証明した。これまでの結果ではポテンシャルに斥力型や適当な滑らかさを仮定したが、今回はスペクトルが正則、即ち、固有値とレゾナンスを持たないという仮定のもとで、これらの仮定を排除することに成功した。証明には高階ラプラシアンに対する Kenig-Ruiz-Sogge 型のレゾルベント評価と Birman-Schwinger 原理を用いる。特に、ポテンシャルの滑らかさを排除するために Kenig-Ruiz-Sogge 型レゾルベント評価を平滑化効果を持つような評価式に改良した。この結果は国際雑誌 Reveiw in Mathematical Physics で出版済みである。
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| 現在までの達成度 |
現在までの達成度
2: おおむね順調に進展している
理由
研究計画通り、高階シュレディンガー作用素に対する実解析的な評価式の研究が順調に進んでいる。また、非線形シュレディンガー方程式に対する散乱理論の研究も進展しており、このような評価となった。
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| 今後の研究の推進方策 |
非線形シュレディンガー方程式に対する修正散乱理論の研究をさらに推し進める。特に、線形ポテンシャルを用いる場合の解析手法を全面に生かして、小さくないデータを持つ場合を考察する。
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