| 研究課題/領域番号 |
21K03334
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分12030:数学基礎関連
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| 研究機関 | 筑波大学 |
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研究代表者 |
塩谷 真弘 筑波大学, 数理物質系, 准教授 (30251028)
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| 研究期間 (年度) |
2021-04-01 – 2025-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2023年度)
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| 配分額 *注記 |
2,340千円 (直接経費: 1,800千円、間接経費: 540千円)
2023年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
2022年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
2021年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
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| キーワード | 数理論理学 / 公理的集合論 / 巨大基数 / 強制法 / 崩壊代数 / 無限組合せ論 / 飽和イデアル / 稠密イデアル / 強制拡大 / 飽和フィルタ |
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| 研究開始時の研究の概要 |
現代数学とは無限の研究であるとしばしば言われる．無限を研究する際に強力な武器となる概念が集合である．実際，無限は1つしかないと信じられていた時代に，実は無数にあることをカントルが発見できた理由は，彼が集合概念を縦横に使えたからに外ならない．カントルの思想を受け継いだ現代集合論は，1つ1つの無限の個性を見極めようとする研究分野であると言える．
本研究は，特に無限の組合せ論と呼ばれる分野に属する．更に限定するなら，強い意味での飽和イデアルの研究を通じて異なる無限の間の違いを理解しようとする研究である．
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| 研究実績の概要 |
現代集合論の主要なテーマの一つに、巨大基数を強制法によって小さな基数に崩壊させて、巨大基数に類似した強力な組み合わせ論的性質を小さな基数において実現することが挙げられる。巨大基数に類似した組み合わせ論的性質として、イデアルの飽和性は古くから研究されてきた。
1980年代にForeman, Magidor, Shelahは、超コンパクト基数を$\omega_{2}$に崩壊させて$\omega_{1}$上に飽和イデアルが存在するモデルを構成する画期的アイデアを出して、その後の大発展を引き起こした。.Kanamoriによる巨大基数理論の標準的な教科書は、この発展を中心に据えて書かれている。Foreman, Magidor, Shelahに先立って、Kunenは1970年代に、膨大基数を$\omega_{1}$に崩壊させて$\omega_{1}$上に飽和イデアルが存在するモデルを構成した。Kunenの手法は非常に一般的で、$\omega_{1}$以外の後続基数への一般化やモデル理論におけるChang予想に適用することができる。Kunenの手法の応用例は、その第一人者Foremanによって集合論ハンドブックの１章としてまとめられている。Kunenの手法の深化とともに、モデルの構成法は加速度的に複雑になって行った。
筆者はかつてEaston崩壊を導入し、その2回反復で強い飽和イデアルを持つモデルを構成することに成功した。この成功の意義は案外大きく、例えば、連続する２つの後続基数上に飽和イデアルを乗せるためには、Easton崩壊を3回反復させるだけでよいことがわかる。これは、Kunenの手法にはない特長である。本研究ではこの手法を発展させることで、Kunenの手法で得られた諸結果の証明を簡易化し、その限界を突破する可能性を探っている。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
Foremanによって、複数の正則基数上に飽和イデアルが同時に存在するモデルは知られていたが、その構成が非常に簡単になった. さらに, この手法を応用することによってEskewは、すべての後続基数上の非定常イデアルが同時に局所的に飽和するモデルを構成することに成功した.この結果は非常に画期的で、Journal of Mathematical Logicに掲載された.
本研究ではLaverによるモデルの構成を簡易化しているが, 同様の手法を用いて, Foreman--Laverによるモデルの構成を簡易化することに成功した. またEskewはWoodinの結果を一般化して正則基数の後続基数が飽和性より強い稠密性を持つイデアルのモデルを構成したが，両者の構成法には選択公理が成立しないモデルが含まれる．本研究において，そのような手法を用いない自然な構成を与えることができた．
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| 今後の研究の推進方策 |
Foremanは無限基数の3組に対するChang予想が成立するモデルをKunenの手法により構成したが，それは非常に複雑であった．したがって現在，4組に対するChang予想が成立するモデルをKunenの手法により構成することは絶望的な状況である．Eskew氏との共同研究により，3組に対するChang予想が成立するモデルを比較的容易に構成することができた．このアイデアを発展させることにより，4組に対するChang予想が成立するモデルを構成することを目指している．
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