研究課題/領域番号 |
21K03337
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研究種目 |
基盤研究(C)
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配分区分 | 基金 |
応募区分 | 一般 |
審査区分 |
小区分12030:数学基礎関連
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研究機関 | 横浜国立大学 |
研究代表者 |
中本 敦浩 横浜国立大学, 大学院環境情報研究院, 教授 (20314445)
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研究期間 (年度) |
2021-04-01 – 2025-03-31
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研究課題ステータス |
交付 (2022年度)
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配分額 *注記 |
4,290千円 (直接経費: 3,300千円、間接経費: 990千円)
2024年度: 650千円 (直接経費: 500千円、間接経費: 150千円)
2023年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
2022年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
2021年度: 1,560千円 (直接経費: 1,200千円、間接経費: 360千円)
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キーワード | グラフ / representativity / 局所平面的グラフ / 閉曲面 / 頂点彩色 / 染色数 / 局所平面グラフ / 三角形分割 / グラフ彩色 / 曲面 / 彩色 |
研究開始時の研究の概要 |
本研究の中心テーマは,局所平面的グラフが4-彩色不可能となるための構造を分類し,Albertson予想を解決すること,つまり,「曲面上のどんなグラフも本質的には4-彩色可能である」ことを明らかにすることである.一方,私たちのこれまでの研究課題の中には,それらに有効な知見が得られると,その解決に大きく近づく未解決問題がいくつもある.ゆえに,これらの周辺課題についても包括的に考えることにより,私たちの取り組む問題は幅広い研究テーマになり得る.これらは,当該分野における極めて中心的な話題であり,これらに関するどんな部分的解決も大きなインパクトを与える.
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研究実績の概要 |
四色定理により,任意の平面的グラフは4-彩色可能であることが,Appel-Harkenによって証明された.一方,球面以外の閉曲面上のグラフには,4-彩色不可能なものも存在するが,閉曲面Fのグラフの染色数は,Fのオイラー数のみで定まるある定数でその上界が抑えられることが知られている. 球面以外の閉曲面F上のグラフGは,Gの非可縮閉路の長さが十分に大きければ(Gが局所平面的であれば),Gは5-彩色可能であることがThomassenによって示された.これに対して,F上の局所平面的グラフで4-彩色不可能なグラフクラスは,次の2つのみが知られている.(1)局所平面的なFisk三角形分割,(2)向き付け不可能な閉曲面の四角形分割の面細分となる偶三角形分割. 本研究では,それ以外のグラフクラスが存在するのか,それとも存在しないのかという問題に焦点をあてて研究を行う.私はこれまで,閉曲面の四角形分割の染色数や,宮三角形分割の染色数の研究に長い間取り組んできており,そこで得られた知見がこのような研究テーマに大いに役に立つのではないかと考えられる.
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現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
3: やや遅れている
理由
コロナによる出張の制約により,海外の共同研究者との連絡が取りにくかったことや,海外で行われる研究集会に参加できなかったことが上げられる.さらに,もう1つの要因として,コロナ禍により研究期間を延長した研究課題があり,そちらの方に力を入れて研究を行ったことが上げられる.
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今後の研究の推進方策 |
研究概要に示した問題について,その一般的な解決の糸口を見つけるのは難しいと思われる.したがって,閉曲面を限定して問題を考えることなどが有効な解決方法であると考える.2023年以降の研究では,そのようなアプローチで問題解決に取り組みたいと考える. もう1つの問題として,射影平面の四角形分割が彩色的に不思議な現象を引き起こすことが知られている.そして,近年,2次元的な対象である「閉曲面の四角形分割」から3次元的な対象をうまく定義し,そのような四角形分割の染色数を調べるという研究がある.Kaiser-Stehlicは,d次元射影空間の四角形分割の染色数はd+2以上であることを示したのに対して,私たちは,四角形分割の定義を変更すると,任意のdに対して,d次元射影空間の四角形分割の染色数は,dの値によらず,4となることを予想している.それらの予想について取り組みたいと考える.
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