| 研究課題/領域番号 |
21K03339
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分12030:数学基礎関連
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| 研究機関 | 大分大学 |
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研究代表者 |
家本 宣幸 大分大学, 教育マネジメント機構, 特任教授 (70161825)
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| 研究期間 (年度) |
2021-04-01 – 2025-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2022年度)
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| 配分額 *注記 |
1,690千円 (直接経費: 1,300千円、間接経費: 390千円)
2024年度: 520千円 (直接経費: 400千円、間接経費: 120千円)
2023年度: 260千円 (直接経費: 200千円、間接経費: 60千円)
2022年度: 260千円 (直接経費: 200千円、間接経費: 60千円)
2021年度: 650千円 (直接経費: 500千円、間接経費: 150千円)
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| キーワード | 一般線形順序位相空間 / 辞書式順序積 / Tyconoff積 / 順序数の積空間 / C^*-embedded / P-embedded / Tyconoff 積 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
本研究代表者は過去30年間一般線形順序位相空間の通常の積の位相的性質を調べてきた。最近、本研究代表者によって一般線形順序位相空間の辞書式順序積が定義され、これまで限定的であった辞書式順序積の研究対象を広げることができた。この研究では、一般線形順序位相空間の通常の積と辞書式順序積の位相的性質の違いを明確に解明し、応用として応募者らが発展させてきた順序数空間の積の理論とその周辺の未解決問題に決着をつけることである。
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| 研究実績の概要 |
目標の一つとして一般線形順序位相空間の辞書式順序積とTyconoff積との違いの解明を挙げていたが、Tyconoff積についての結果が得られた。平田・矢島の2017年の論文の未解決問題として「二つの順序数空間の積空間部分空間の閉集合が、その部分空間においてC^*-embeddedであることとP-embeddedが同値であるか？」が問われた。早稲田大学の薄葉氏との共同研究で、この問題の肯定は証明不可能であることを示した。 \omega の無限部分集合の \omega_1-列 \mathcal N=\{ N(\alpha):\alpha<\omega_1\} について、 (\omega+1) \times \omega_1 の部分空間 X_{\mathcal N} =\omega\times \limm \cup (\bigcup_{\alpha<\omega_1}(N(\alpha)\cup\{ \omega\})\times \{ \alpha+1\})について次の集合論に依存する微妙な結果が得られた。
・X_{\mathcal N} の閉集合 F=X_{\mathcal N}\cap \{ \omega \} \times \omega_1 は P-embedded ではない。
・F が C^*-embedded であることの必要十分条件は \mathcal N が Property (A) を満たすことである。
・Property (A) はある種の iterated forcing extensionで成立することが知られているので、このextensionでは F はC^*-embeddedとなり上記問題の反例となる。
・2^\omega<2^{\omega_1}ならば Property (A) の否定が成立する。従って F はC^*-embeddedではない。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
1: 当初の計画以上に進展している
理由
初年度の目標である問題I「(一般) 線形順序位相空間の辞書式順序積がパラコンパクト(リンデレーフ) である必要十分条件は何か？」のパラコンパクトについては解決済で既に掲載済みである。本年度の目標である問題II「 (一般) 線形順序位相空間の辞書式順序積について、各ファクターが継承的パラコンパクトの時、積も継承的パラコンパクトか？ また、積が継承的パラコンパクトになるための必要十分条件は何か?」についても解決済で既に掲載済みである。本年度はこれら以外に、上記「順序数のTyconoff積の部分空間のC^*-embedded性とP-embedded性」について予定外の結果が得られた。
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| 今後の研究の推進方策 |
予定以上のスピードで研究が進んでいる。今後の研究の推進方策としては、最初の予定通り、問題III「一般線形順序位相空間の辞書式順序積が継承的リンデレーフ(完全、距離化可能、可分) になるための必要十分条件は何か?」についての考察をしたい。一方でTyconoff積についても研究が進んでいるので、辞書式順序積とTyconoff積の違いの解明も焦点としたい。
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