| 研究課題/領域番号 |
21K03341
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分12030:数学基礎関連
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| 研究機関 | 日本大学 |
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研究代表者 |
古市 茂 日本大学, 文理学部, 教授 (50299327)
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| 研究期間 (年度) |
2021-04-01 – 2026-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2023年度)
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| 配分額 *注記 |
3,510千円 (直接経費: 2,700千円、間接経費: 810千円)
2025年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
2024年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
2023年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
2022年度: 650千円 (直接経費: 500千円、間接経費: 150千円)
2021年度: 520千円 (直接経費: 400千円、間接経費: 120千円)
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| キーワード | エントロピー / 不等式 / 作用素 / 行列平均 / 凸解析 / Jensen不等式 / Aczel不等式 / Gruss不等式 / 相対エントロピー / 正作用素 / 作用素平均 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
エントロピーや相対エントロピーなどの情報量は密度作用素によって定義される．また作用素論や行列解析において，正定値行列に関する研究は多くされてきた．この6-7年の間に，その正定値行列に対して拡張された概念としてセクター行列が導入され，様々な数学的研究がされてきた．量子情報理論の数学的研究は一部完成していない部分があり，終わりが見えていない．その中でも量子力学的な情報量に関する解析的な研究は基本的かつ重要な分野となっている．量子情報理論における重要かつ根本的な問題に挑戦する．同時に作用素論におけるセクター行列や正定値行列に関する不等式全般の基礎的な研究を遂行する．
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| 研究実績の概要 |
今年度の研究実績について述べる．まず，KantorovichおよびAndoの作用素不等式のさらなる解析を提示したことである．また，凸関数は数学的な不等式において重要な役割を果たすことが知られている．通常の上界・下界よりもタイトな結果を得るための道具としてとしてラジカル凸性を使用した．様々な重み付き平均に関するいくつかの数学的不等式を示した．重み付き対数平均に関する不等式も与えた．さらに，凸関数アプローチとしてJensenの不平等の差についても研究した結果を述べた．次に，対称凸関数とそれらの凸性の他の概念，つまりWright convexityとの関係を研究した．対称対数凸性の概念を導入した．そのうえで，既存の結果の同値な記述と拡張を与えた．Hermite-Hadamard および平均の不等式を含む応用を与えた．
次に，重み付きHermite-Hadamard不等式に現れる関数を特徴付けることを目的とし，その応用として重み付き平均に対する改善された不等式も与えた．新しいコーシー・シュワルツ不等式を導入した．新しい不等式を用いて，新しい A数値半径不等式を導出することができた．幾何学的凸関数のクラスはいくつかの重要な関数を備えた豊富なクラスである．このクラスをさらに詳しく解析し興味深く新しい性質について示した．得られた結果は，凸性から幾何学的凸性への内容を拡張し，数値域不等式や双曲線関数と指数関数の不等式への興味深い応用を与えた．
さらに，二項演算について研究した．作用素平均が満たすべき条件について調べ２点は満たすが残りの２点は満たさないことが分かった．また最後に，応用としてTsallis相対作用素エントロピーに関連した成果を示した．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
今年度中に出版された査読付き論文は11篇であり，予定していたものを超過した．研究の成果が更なる新しい研究へと繋がり良い進展を迎えていると判断している．一方で，本研究課題については時間を見つけて何度も個人的に挑戦しているが結果が得られていない．ここが達成できていれば，当初の計画以上に進展していると言える．
特に，凸関数とその類似物は，例えば最適化，分数微積分，数理解析，関数解析、作用素論や数理物理学などの数学分野で強力なツールとして機能してきている．出版論の１つでは，凸関数と超二次関数に対する劣加法性および強加法性について研究した．その結果としてこれまでに知られている幾つかの不等式を改善しまた逆不等式を与えることに成功した．また別の論文では，凸関数をより抽象的な概念で捉えたcr(center radius:中心半径)-順序の下で議論し幾つかの新しい不等式を得た．その一部を利用してcr(center radius:中心半径)-相対エントロピーを定義し通常の相対エントロピーを含む形で知られている性質を一般化した．凸解析と不等式に関する一般化された研究の成果が，エントロピーに関してよく知られていた結果を内包する形で示されたわけである．
このように，海外の研究者との共同研究により本研究課題の当初の主目的とはことなるが，研究課題の一部となる成果が得られている点には満足している．
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| 今後の研究の推進方策 |
本研究課題の当初の目的については論文を書くだけの成果が得られていない．研究期間内に論文出版するに値する成果が出るかは不明である．科学研究，特に数学の研究である以上，限られた時間で思った通りの成果が出る保証はないが，残された研究期間において，当初の研究課題についても時間を掛けて考察していく予定である．
一方で，この3年間で申請時に考えていた研究内容そのものではなく，関連した研究内容においてに非常に良い結果が得られているので，ここ数年で得られた結果の更なる進展を目指しつつ，この方向での研究を続けていく予定である．当初は凸解析については予定がなかったが不等式の研究において凸関数とその性質は重要であるので，この方向での研究は自然である．よって，海外の研究者との共同研究を通じて，凸解析と不等式に関する研究課題についても推進していく予定である．
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