| 研究課題/領域番号 |
21K03343
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分12030:数学基礎関連
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| 研究機関 | 大和大学 |
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研究代表者 |
谷口 浩朗 大和大学, 教育学部, 教授 (60370037)
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| 研究期間 (年度) |
2021-04-01 – 2024-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2022年度)
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| 配分額 *注記 |
1,690千円 (直接経費: 1,300千円、間接経費: 390千円)
2023年度: 520千円 (直接経費: 400千円、間接経費: 120千円)
2022年度: 520千円 (直接経費: 400千円、間接経費: 120千円)
2021年度: 650千円 (直接経費: 500千円、間接経費: 150千円)
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| キーワード | D-property / Dillon's observation / 有限体上の関数 / APN関数 / DHO / 有限幾何 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
現在使用されている対称暗号には解読法が考案されており，その解読法に耐性を持つ設計のため非線形性の非常に大きい関数（APN関数）の研究が活発に行われている。現在のところAPN関数は定義域・値域とも同じ場合に限って研究されているが，応用上は定義域と値域の次元が異なる場合の研究も必要である。筆者は定義域と値域が同じ次元のAPN関数に帰着されない，しかも関連するグラフが連結であるAPN関数の存在をコンピュータによる予備実験で観察することが出来た。当該研究において今まで研究されていなかった「値域Wの次元を決して下げることの出来ないAPN関数(Wに本質的に生息するAPN関数)」について研究を行っていく。
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| 研究実績の概要 |
標数2のベクトル空間Vからベクトル空間Wへの写像は、共通鍵暗号の心臓部（S-box）として活発に研究されている。現在、共通鍵暗号に対する攻撃である「線形・差分攻撃」に対して耐性の高い関数（APN関数）の構成が求められている。今年度はこれらのAPN関数Fに対して F(x)+F(y)+F(z)+F(x+y+z)からなる集合がW全体に一致する条件（これを「D-priperty」という）を中心に研究を進めた。この条件は、VとWが一致するAPN関数については常に成り立つことが知られていたが、それ以外の場合には全く研究されていなかった。この条件（D-property）は、定義域Vと値域Wが異なるAPN関数f:V->Wについて、値域Wが「実質的にはもっと小さいベクトル空間W'にすることが出来ない」ための条件であり、定義域と値域が異なるAPN関数に関する研究の出発点としてまず最初に研究する必要がある条件であり必ず調べなければならない性質である。今年度はこの条件の様々な性質を調べ、また関数の非線形性との関係についても結果を与えた。さらに値域が定義域とは等しく出来ないような様々のAPN関数の構成も与えた。これらの成果については、"D-property of APN functions from F_2^n to F_2^{n+1}$という論文として専門誌「Cryptography and Communications」に2023年に掲載された。上記の私の研究にはすぐに反応があり、M.Abbondati, M.Calderini, I.Vellaによる共著の論文"On Dillon's property of (n,m)-functions" が現在専門誌に投稿されている（まだ掲載されていない）。この中でD-propertyの研究はTaniguchiによって開始されたことがはっきりと記され、また私の結果がいくつかの場合（たとえばCCZ同値が成り立つ条件がPlateaued functionsにまで）に拡張されている。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
3: やや遅れている
理由
今年度Dillon's Propertyを中心に研究を進めた。投稿した論文に対して「査読者および編集者からの疑問に対する問い合わせや論文の書き変え」要求が非常に多く、そのことに答えるため多くの力を注ぎ込まざるを得なかった。その結果、今年度は新しい方向に向けてあまり研究を進めることが出来なかった。今後の研究については、APN関数をさらに大きい定義域に拡張するアイデアを追求し、その特別な場合として2次的なAPN関数を部分的に線形写像で変形するアイデアをいくつもの例を作ってコンピュータで確認しながら考察を進めている。
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| 今後の研究の推進方策 |
現在、2次的なAPN関数を部分的に線形写像で変形するアイデアを追求している。変形が存在するための必要十分条件の確立についてはすでに完成し、定義域Vが4，5，6次元の場合については多くの変形が存在することをコンピュータで確認している。しかし7次元以上の場合になるとコンピュータでは膨大な時間がかかり、ほんの少しの例しか見つけられていない。一般的な状況について現在考察を進めている最中である。
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