研究課題/領域番号 |
21K03348
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研究種目 |
基盤研究(C)
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配分区分 | 基金 |
応募区分 | 一般 |
審査区分 |
小区分12040:応用数学および統計数学関連
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研究機関 | 電気通信大学 |
研究代表者 |
山本 野人 電気通信大学, 大学院情報理工学研究科, 教授 (30210545)
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研究期間 (年度) |
2021-04-01 – 2024-03-31
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研究課題ステータス |
交付 (2022年度)
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配分額 *注記 |
3,900千円 (直接経費: 3,000千円、間接経費: 900千円)
2023年度: 1,430千円 (直接経費: 1,100千円、間接経費: 330千円)
2022年度: 1,430千円 (直接経費: 1,100千円、間接経費: 330千円)
2021年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
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キーワード | 精度保証 / 力学系 / 保存量 / 精度保証付き数値計算 / 微分方程式 / 構造保存型数値解法 / 数値解析 / 現象解析 |
研究開始時の研究の概要 |
本研究では、精度保証付き数値計算の技法の実際的な応用のための基盤を構築する。 精度保証技術の整備とさらなる発展を望みつつ、 ◎ 実際的な現象解析につながる精度保証法の応用 のための理論的基盤と解析ツールを開発する。 研究方法としては、申請者らが携わってきた連続力学系・離散力学系に対する Lyapunov 関数の構築・不変集合の検証などに関する精度保証法をベースとし、 1. 現象の数理モデルの解の長時間挙動を理解するための計算ツールを提供すること 2. 通常の計算スキームでは安定に計算できない問題に対して有効なスキームを構築すること を目的とする技法を創出する。
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研究実績の概要 |
2022年度は、保存量を持つ常微分方程式系に関して、主として2つの観点からの研究を進めた。 一つは簡易的な構造保存型とも言える射影法をベースとした手法である。保存量を伴う系の数値計算は、軌道計算におけるドリフトが生じやすいことが知られている。精度保証付き数値計算では、このことは区間幅の急激な拡大を引き起こす。通常の数値計算では、これを避けるために構造保存型数値計算をはじめとするいくつかの手法が存在する。射影法はそのうちでも簡便なもので、保存量を与える関数の勾配を計算し、これを次ステップの解計算に援用する。これを精度保証法として展開すると、Lohner法の計算プロセスの中で計算される区間を保存量の勾配に合わせて回転し、特定の方向を細分割して保持している保存量を含まない小区間を排除する方法を採ることになる。この観点から、ドリフトが起こりやすい例題を用いて研究を進め、排除の方法に関するいくつかの知見を得た。さらにこの方法を微分代数方程式に適用し、限定された状況ながら精度保証付き計算を行うことに成功している。微分代数方程式への精度保証法の適用は、申請者の知る限り最初のものである。 二つめは、位相空間における平衡点近傍の球面上で保存量をサーチすることで、解の挙動を解析する方法の研究である。球面上での保存量の最大値・最小値は、解軌道がその点で球面に接していることを意味している。さらに微分方程式右辺のベクトル値関数(flow)からの情報を組み合わせると、当該の解軌道が球内に閉じ込めれられている、もしくは、球内に入り込むことがないことを示し得る場合がある。このような情報を数値的手法として整えて提案し、非線形シュレディンガー方程式の解析に応用した例を示した。この方法は学術雑誌の招待論文として投稿し、掲載されている。
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現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
現象解析の手法として、新しいものを開発しつつあり、その進展が見込まれる。特に、微分代数方程式への適用は、当初計画で予想していなかった成果であり、意義が大きい。
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今後の研究の推進方策 |
まずは、微分代数方程式の精度保証法に関して、標準的なレベルでの数値実験を行い、論文としてまとめる。また、簡易構造保存にあたる精度保証計算については、既存のLohner法プログラムのなかにこれを組み入れる形で実装を行い、その有効性を確認していく。 球面上の保存量計算を利用した解析手法については、特に高次元の問題への適用を試みたい。3次元以上では平衡点近傍であってもカオス的挙動が生じる場合があるが、このようなケースでも解軌道の閉じ込め領域を検証できる手法を確立する。
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