| 研究課題/領域番号 |
21K03364
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分12040:応用数学および統計数学関連
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| 研究機関 | 東京工業大学 |
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研究代表者 |
中野 張 東京工業大学, 情報理工学院, 准教授 (00452409)
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| 研究期間 (年度) |
2021-04-01 – 2024-03-31
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| 研究課題ステータス |
完了 (2023年度)
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| 配分額 *注記 |
2,340千円 (直接経費: 1,800千円、間接経費: 540千円)
2023年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
2022年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
2021年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
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| キーワード | シュレディンガー問題 / 確率制御 / 確率微分方程式 / 生成モデル / 深層学習 / 確率偏微分方程式 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
初期分布と終端分布が固定されたブラウン粒子の中で最も起こりやすい時間発展を求める問題はシュレディンガー問題と呼ばれ，機械学習分野との関連等から近年再注目されている．シュレディンガー問題は多数の有望な応用を持つが，現実的な実装のためには既存の数値解法では不十分である．本研究では空間次元が高い場合かつ所与の周辺分布が経験分布の場合にも適用可能なシュレディンガー問題の数値解法の開発とその収束を厳密に証明することを目的とする．
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| 研究実績の概要 |
本研究課題では，シュレディンガー問題と呼ばれる，初期分布と終端分布が固定されたブラウン粒子の中で最も起こりやすい時間発展を求める問題の数値解法について研究している．本年度の研究では，昨年度開発した，シュレディンガー問題に対するMcKean-Vlasov型確率制御問題による数値解法の厳密な収束を証明した．副産物として，ガウスカーネルによる，確率測度のヒルベルト空間への埋め込みが弱収束と同値であることを証明した．これは未解決問題として提示されていたものであった．この成果を国際学会で発表し，さらに学術誌に一編の論文として投稿中である．また，現在，画像生成モデルとして広く普及している生成拡散モデルの理論解析の研究を行った．具体的には，ノイズ除去拡散確率モデル（Denoising Diffusion Probabilistic Models）による生成分布が目標分布に収束するための十分条件を明らかにした．既存研究で知られている収束証明では，順時間過程のパラメータがどのような条件を満たせば生成が成功するのか，不明瞭だったが，本研究では，このパラメータに対する適当な漸近挙動の十分条件を導出した．
研究期間全体を通じて，シュレディンガー問題という特殊な確率制御問題に対して，新しい数値解法を提示し，厳密な理論解析を行なった．また，限定された場合のシュレディンガー問題の近似解法とみなせる生成拡散モデルに対し，これまで明らかになっていなかった収束条件を明らかにした．
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