| 研究課題/領域番号 |
21K03378
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分12040:応用数学および統計数学関連
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| 研究機関 | 早稲田大学 |
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研究代表者 |
中尾 充宏 早稲田大学, 理工学術院, その他(招聘研究員) (10136418)
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| 研究期間 (年度) |
2021-04-01 – 2025-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2023年度)
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| 配分額 *注記 |
4,160千円 (直接経費: 3,200千円、間接経費: 960千円)
2023年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
2022年度: 1,170千円 (直接経費: 900千円、間接経費: 270千円)
2021年度: 1,950千円 (直接経費: 1,500千円、間接経費: 450千円)
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| キーワード | 数値解析 / 精度保証付き数値計算 / 有限要素法の構成的誤差評価 / 解の数値的検証法 / 計算機援用証明 / 数値的検証法 / 精度保証付き数値計算法 / 誤差解析 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
偏微分方程式の解に対する精度保証付き数値計算法(数値的検証法)の研究は、近年のスーパーコンピュータをはじめとする情報処理技術のめざましい発展とも相まって、著しい進歩を遂げつつある。本研究では、新たな精度保証の原理を追究し、解の爆発をともなう発展方程式や、乱流現象を記述する流体方程式など、適用領域を従来より一層広い非線形数理モデルにまで拡大するとともに、計算法の効率化・高精度化を図り、その有効性を格段に高めることを目ざす。
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| 研究実績の概要 |
本研究課題と関連した研究協力者との情報交換および研究連携のもとで、主として、無限次元精度保証付き数値計算法の検討を行った。関係者との対面およびオンラインでのタイムリな研究打合せも含めて恒常的に研究を進め、以下に掲げる研究成果を得た。
（１）発展方程式の基本形である熱方程式を対象として、空間・時間の同時離散化（全離散近似）スキームに対する構成的誤差評価を導出した。特に本結果は、従来得られていた手法が、問題ごとに計算機援用による大規模行列の固有値問題を精度保証付きで解く必要があったのに比べて、計算コストを格段に低減させるものである。具体例に対する数値実験においてもその有効性が確認されている。（２）熱方程式の時間周期解に対する空間有限要素法、時間スペクトル法による全離散近似解の構成的誤差評価を導出した。具体的なモデル問題に対する数値例を実装し、論文作成を進めている。（３）Poisson方程式のLagrange-type 有限要素近似解に対する2次収束の構成的誤差評価を与え、具体的数値例により、その有効性を実証した。（４）一般的な抽象Hilbert空間における線形作用素の逆作用素の存在を数値的に検証し、そのノルム評価を精度保証付きで算定する原理と手順を明らかにした。具体的な楕円型作用素について数値例によりその有効性を実証した。（５）放物型方程式の初期境界値問題の精度保証付き数値計算に対する発展作用素を用いた効率的手法を与えた。（６）楕円型線形作用素に対する近似逆作用素ノルムの収束性について考察し、その収束オーダー評価を与えた。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
熱方程式を対象とした空間・時間の同時離散近似（全離散化）スキームに対する構成的誤差評価を、大規模行列の固有値問題を精度保証付きで解くことなく算定できることは、計算コストの低減という観点から関係分野の研究進展に大きく寄与するものである。また、一般的な抽象Hilbert空間上で、線形作用素の逆作用素の存在を数値的に検証し、そのノルムを数値評価できる手法を与えたことの意義は大きい。これは楕円型あるいは重調和型問題のみならず、多くの無限次元精度保証付き数値計算法の適用領域を今後大幅に拡大する可能性を示すものといえる。
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| 今後の研究の推進方策 |
これまでと同様に、関係研究者との緊密な情報交換と研究協力の下に、次の課題に対して検討を進める。
（１）楕円型作用素の近似逆作用素ノルムの厳密な逆作用素ノルムへの収束オーダー評価の具体化と改良（２）空間有限要素法、時間スペクトル法による熱方程式の時間周期解に対する全離散解の構成的誤差評価を活用して、具体的非線形モデル問題に対する数値的検証例を実装し、その有効性を示す。（３）発展方程式の解の爆発に関して、初期値との関連性や爆発領域の特定を数値的に検証する手法の開発（４）放物型方程式の初期境界値問題に対する発展作用素を用いた精度保証付き数値計算法の効率的実現（５）3次元Navier-Stokes 方程式の解に対する数値的検証を高Reynolds領域において実現する手法の検討。
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