研究課題
基盤研究(C)
グラフ上で定義される多くの問題は計算量理論上難しいことが分かっている．そのような問題に対し，グラフの分解可能性をあらわす構造パラメータを用いたアルゴリズム設計が有効である．木分解の幅によって定義される木幅がその代表的な成功例であるが，研究の発展により，一般の木分解では手に負えない問題が見つかってきている．本研究では，木分解に関連したグラフ構造パラメータの階層を見直し，グラフ分解への制限を大幅に弱めた構造パラメータを導入することで，高速アルゴリズム設計可能範囲を拡大することを目指す．さらに，既知の困難性をさらに強い制限の下で示すことにより，重要問題に対するきめ細やかな知見獲得を目指す．
グラフ構造パラメータ階層の詳細化によるアルゴリズム設計と計算量解析を研究し，以下に分類される成果を得た: (1) 頂点被覆が小さい場合の高速アルゴリズムを，頂点インテグリティが小さい場合に一般化した; (2) 木幅が小さい場合に対する分かっている困難性を強化し，より限定されたパラメータに対して示した; (3) 何が問題を易しくするのか・難しくするのかに対する構造的メタ定理を発見した.最終年度は主に以下の成果を得た．・本研究計画の主たるターゲットである頂点インテグリティに対して，最適解の対数倍（log OPT 倍）の精度保証をもつ近似アルゴリズムを設計した．これは今までに知られていた OPT 倍近似アルゴリズムを大幅に改善するものであり，これまでに設計してきた頂点インテグリティをパラメータとしたアルゴリズムの適用可能性を大きく広げることが期待されるものである．・最長共通部分列間の遷移問題に関する多項式時間アルゴリズムを与えた．この結果は，置換グラフというグラフクラスでの独立集合の遷移問題を部分的に解決するものである．（最大独立集合の場合に多項式時間可解であることを示したことになる．）・Mim-widthと呼ばれる非常に一般的なグラフ構造パラメータをパラメータとした場合の誘導部分グラフ発見問題に関して，様々な容易性・困難性の結果を示した．研究の進展にともない，得られた理論的結果のさらなる発展および実践的活用可能性の解明が必要となってきた．そこで，研究計画を再構成し，実用的なグラフアルゴリズム自動生成を追求する研究課題を計画し，研究計画最終年度前年度応募を行った．今後は，後続研究課題「グラフ分解手法と問題記法の多様化による実践的アルゴリズム自動生成」を実施していく．
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