| 研究課題/領域番号 |
21K13763
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| 研究種目 |
若手研究
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| 配分区分 | 基金 |
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| 審査区分 |
小区分11010:代数学関連
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| 研究機関 | 筑波大学 |
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研究代表者 |
三原 朋樹 筑波大学, 数理物質系, 助教 (90827106)
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| 研究期間 (年度) |
2021-04-01 – 2024-03-31
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| 研究課題ステータス |
完了 (2023年度)
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| 配分額 *注記 |
520千円 (直接経費: 400千円、間接経費: 120千円)
2023年度: 130千円 (直接経費: 100千円、間接経費: 30千円)
2022年度: 130千円 (直接経費: 100千円、間接経費: 30千円)
2021年度: 260千円 (直接経費: 200千円、間接経費: 60千円)
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| キーワード | リジッド幾何 / p進解析 / ガロア表現 / 積分 / p進幾何 / p進ガロア表現 / Tate acyclicity / 層的バナッハ代数 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
本研究の目的は、古典的な幾何的不変量に類似する数論的不変量を構成することである。
整数論の研究対象の１つが整数係数方程式である。例えば１変数２次方程式であれば解の公式を用いることで解を複素数の範囲で具体的に記述することができることは初等的であるが、同様の公式が３・４次方程式にも存在することも知られている。一方で５次以上ではそのような公式が存在せず、代わりにガロア群という対象を調べることで５次以上でも解の対称性を記述することが可能である。ガロア群を調べるためにはコホモロジーという幾何的不変量に類似する数論的不変量が用いられるが、本研究ではそれと対をなすホモロジーに類似する数論的不変量を構成する。
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| 研究成果の概要 |
整数論の主たる研究対象の一つに、整数の方程式の解の対称性を司るガロア群という代数的対象がある。ガロア群を調べるためには、行列の応用であるガロア表現という道具を用いることが一般的であり、そのためにはガロア表現を豊富に構成してそれが非自明なものであることを判定する必要がある。
本研究ではパーフェクトイド空間の余単体的対象という幾何的対象を構成することでアディック空間の特異ホモロジーという幾何的不変量を定義し、それにガロア表現の構造を付与した。
更にガロア表現の非自明性を判定するための道具立てとして特異ホモロジーに沿った積分論を展開した。
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| 研究成果の学術的意義や社会的意義 |
先述したように新たにガロア表現を豊富に得られ、また積分論により非自明性の検証方法が与えられている。期待したようにこれらがガロア群の構造に関する研究に実際に役立てられれば、整数論の目標の１つである整数の方程式の解の対称性の記述に貢献することとなる。
また今回はパーフェクトイド空間という非常に良い無限次元空間を完備群環という道具を用いて構成できたため、リジッド幾何学の壁の１つである無限次元空間のsheafy性の判定の複雑さという問題にも今後の応用を期待している。
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