研究課題/領域番号 |
21K13775
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研究種目 |
若手研究
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配分区分 | 基金 |
審査区分 |
小区分11010:代数学関連
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研究機関 | 熊本大学 |
研究代表者 |
川節 和哉 熊本大学, 大学院先導機構, 准教授 (90853531)
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研究期間 (年度) |
2021-04-01 – 2025-03-31
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研究課題ステータス |
交付 (2022年度)
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配分額 *注記 |
4,680千円 (直接経費: 3,600千円、間接経費: 1,080千円)
2024年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2023年度: 1,300千円 (直接経費: 1,000千円、間接経費: 300千円)
2022年度: 1,170千円 (直接経費: 900千円、間接経費: 270千円)
2021年度: 1,300千円 (直接経費: 1,000千円、間接経費: 300千円)
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キーワード | 頂点作用素代数 / 共形場理論 / Kac-Moodyリー環 / 頂点代数 / 無限次元リー環 / Kac-Moody リー環 |
研究開始時の研究の概要 |
頂点作用素代数(ないし頂点代数)は、共形的な場の量子論の対称性を記述する代数系である。その中でも、平滑と呼ばれるものは、より基本的な共形場理論や、モジュラー形式の理論などと関係しており、重要なクラスをなす。頂点作用素代数のコセット構成法は、既存の頂点作用素代数から新しい頂点作用素代数を構成するための基本的な道具であり、数学・物理の両方で盛んに研究されている。平滑な頂点作用素代数の中で、平滑な頂点作用素部分代数のコセットが再び平滑になるかということは重要な未解決問題である。本研究の目的は、平滑性予想に向けて、基本的な頂点代数のコセット構成法を具体例に即して詳しく研究することである。
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研究実績の概要 |
頂点作用素代数は、2次元の共形的な場の量子論(共形場理論)の対称性を記述する代数系である。場の理論や表現論、モジュラー形式の理論、組み合わせ論、テンソル圏の理論など様々な分野と関係する重要な代数系である。その中でも、平滑ないしC_2余有限と呼ばれる頂点作用素代数のクラスは、指標のモジュラー不変性を持つことが知られており、頂点作用素代数の最も重要なクラスの一つである。平滑な頂点作用素代数を構成する手法の中に、コセット構成法というものがある。コセットは一般に平滑になると考えられているが、証明はされておらず、分野の大問題の一つである。頂点作用素代数の一般化である頂点代数についても、平滑性やコセットの概念が自然に定義される。本研究では、コセットの平滑性が頂点代数の範囲ではどう見えるか確かめるために、平滑な頂点作用素代数において、平滑だが頂点作用素代数ではない部分頂点代数を考え、そのコセットの構造を調べている。今年度は昨年度から引き続き、レベル1のA1型の頂点代数のコセットについて、その構造を調べた。昨年度の研究で有限生成でないことが分かったので、生成元を決定するという問題に取り組み、自然な極小生成系を与えた。一般に頂点作用素代数は無限次元のベクトル空間で、その構造の解明には、良い生成系を与えることが不可欠である。そこで、この生成系は今後コセットの構造を解明する上で重要な役割を果たすと考えられる。また、他のコセットについても一般化しやすい形だと考えられるので、この手法は一般化に役立つと考えられる。また、平滑性に代わるコセットの有限性について一定の理解が得られた。これは今後、コセットの平滑性がどの程度成り立つかという問題に一つの視点を与えると考えられる。
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現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
レベル1のA1型の頂点代数のコセットについて、その極小生成系を与えることが出来た。極小生成系は構造を調べる基本となるので、今後より強力に分析が進むと考えられる。
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今後の研究の推進方策 |
これまでの研究で得られた、A1型の頂点代数の生成系の記述は、高いランクに一般化できそうなので、高いランクの頂点代数についても、生成元を決定することを目指す。また、高いレベルの頂点代数についても計算を始めていき、これまでの手法が適用できないか調べていく。
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