| 研究課題/領域番号 |
21K13775
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| 研究種目 |
若手研究
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| 配分区分 | 基金 |
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| 審査区分 |
小区分11010:代数学関連
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| 研究機関 | 熊本大学 |
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研究代表者 |
川節 和哉 熊本大学, 大学院先導機構, 准教授 (90853531)
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| 研究期間 (年度) |
2021-04-01 – 2025-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2023年度)
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| 配分額 *注記 |
4,680千円 (直接経費: 3,600千円、間接経費: 1,080千円)
2024年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2023年度: 1,300千円 (直接経費: 1,000千円、間接経費: 300千円)
2022年度: 1,170千円 (直接経費: 900千円、間接経費: 270千円)
2021年度: 1,300千円 (直接経費: 1,000千円、間接経費: 300千円)
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| キーワード | 頂点作用素代数 / 共形場理論 / Kac-Moodyリー環 / 頂点代数 / 無限次元リー環 / Kac-Moody リー環 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
頂点作用素代数（ないし頂点代数）は、共形的な場の量子論の対称性を記述する代数系である。その中でも、平滑と呼ばれるものは、より基本的な共形場理論や、モジュラー形式の理論などと関係しており、重要なクラスをなす。頂点作用素代数のコセット構成法は、既存の頂点作用素代数から新しい頂点作用素代数を構成するための基本的な道具であり、数学・物理の両方で盛んに研究されている。平滑な頂点作用素代数の中で、平滑な頂点作用素部分代数のコセットが再び平滑になるかということは重要な未解決問題である。本研究の目的は、平滑性予想に向けて、基本的な頂点代数のコセット構成法を具体例に即して詳しく研究することである。
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| 研究実績の概要 |
頂点作用素代数は、2次元共形場理論の対称性を記述する代数系である。場の理論や表現論、モジュラー形式の理論、組み合わせ論、 テンソル圏の理論など様々な分野と関係する重要な代数系である。その中でも、平滑ないしC_2余有限と呼ばれる頂点作用素代数のクラスは、指標のモジュラー不変性という性質を持つことが知られており、頂点作用素代数の最も重要なクラスの一つである。平滑な頂点作用素代数を構成する手法の中に、コセット構成法というものがある。コセットは何らかの一般的な仮定の下にに平滑になると考えられているが、証明はされておらず、これを証明することは分野の大問題の一つとなっている。頂点作用素代数の一般化である頂点代数についても、平滑性やコセットの概念が自然に定義される。本研究では、コセットの平滑性が頂点代数の範囲ではどう見えるか確かめるために、平滑な頂点作用素代数において、平滑だが頂点作用素代数ではない部分頂点代数を考え、そのコセットの構造を調べている。前年度から引き続き、レベル1のA1型の主部分空間のコセットCについて、その構造を調べた。前年度までで有限生成でないことを証明し、極小生成系を決定していた。その生成系を用いて、CにおけるZhuのPoisson代数の構造を決定した。これより、Cは平滑ではないが、それとほぼ近い性質を持つことがわかった。さらに、Cの中心化代数が元の代数と一致することを示した。以上の結果を論文にまとめて、国際学術論文誌で出版したほか、研究集会等で研究発表を行った。また、A2型の場合や、レベルが高い場合、ランク１の格子頂点作用素代数の主部分空間に対して構造の計算を行った。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
レベル1のA1型の主部分空間のコセットについて、極小生成系を与え、ZhuのPoisson代数の記述や、ダブルコセットが元の代数と一致することを示すなど、決定的な結果が得られた。また、一般化主部分空間の構造の記述が進んでいる。今後得られた手法や知見を応用して研究を進めていくことが出来ると考えられる。
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| 今後の研究の推進方策 |
これまでの研究で得られた手法や知見を応用し、高いランクやレベル、格子に付随する場合の主部分空間のコセットについて、構造の決定を進めていく。特にランク１の格子頂点作用素代数の主部分空間についての構造の分析が進んだので、そのコセットの極小生成元を決定することなどを目指す。
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