| 研究課題/領域番号 |
21K13777
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| 研究種目 |
若手研究
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| 配分区分 | 基金 |
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| 審査区分 |
小区分11010:代数学関連
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| 研究機関 | 日本文理大学 (2023)
育英館大学 (2021-2022) |
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研究代表者 |
陶山 大輔 日本文理大学, 経営経済学部, 准教授 (20746755)
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| 研究期間 (年度) |
2021-04-01 – 2024-03-31
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| 研究課題ステータス |
完了 (2023年度)
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| 配分額 *注記 |
1,430千円 (直接経費: 1,100千円、間接経費: 330千円)
2022年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
2021年度: 650千円 (直接経費: 500千円、間接経費: 150千円)
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| キーワード | 超平面配置 / 自由配置 / Shi配置 / 自由超平面配置 / Ish配置 / Weyl配置 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
「3次元空間内に配置された何枚かの平面」という対象を高次元化したものを超平面配置と呼ぶ．Shi配置は1986 年にJ. Y. Shiによって導入されて以来，Stanley, Edelman, Reinerなど多くの研究者に研究されてきた基本的な配置の一つである．Ish配置は，近年D. Armstrongに導入され，Shi配置との組合せ論的類似性が多数指摘されてきた．本研究では，Shi配置の自由性，特に基底構成について，Ish配置との類似性に着目したアプローチを試みる。
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| 研究実績の概要 |
超平面配置に付随する対数的ベクトル場がなす加群が自由加群であるとき，超平面配置は自由配置であるといわれる．Shi配置はA型アフィン・ワイル群の元のある種の同値類の集合とShi配置の部屋が一対一に対応する，というJ.-Y.Shi氏の研究の中で，元々A型のルート系に対してのみ導入されたものである．Shi配置はWeyl配置の各鏡映面に平行な超平面を付け加えたという単純な対象であり，その自由性が，Edelman-Reiner予想の解決という形で示されているが，Weyl配置の自由性が基本不変式を用いて具体的に基底を記述することによって示されたのに対して，Shi配置の自由性はG. M. Ziegler氏による重複度付き超平面配置の理論や，代数幾何的な手法を用いて基底を構成することなく示された．その後，寺尾宏明氏，R. Gao氏, D. Pei氏, 申請者によってA型，B型，C型，D型のルート系に対するShi配置の基底構成がなされたが，それらはルート系の型に依存しており，全ての型を尽くしてはおらず，また得られた基底の形も非常に複雑なものであった．今年度の研究成果の１つは，辻栄周平氏，Michele Torielli氏との共同研究により，Athanasiadis氏やBailey氏によって得られていた，Shi配置に関連する2つの超平面配置のクラスにおける自由性の一致についての結果を拡張したことである（投稿中）．また，もう1つの研究成果として，辻栄周平氏との共同研究により，Deshpande氏，Menon氏，Sarkar氏によって導入されたFuss-Catalan numberに関連する超平面配置の導分加群の基底を，離散積分により表示することに成功した（論文執筆中）．
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