| 研究課題/領域番号 |
21K13778
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| 研究種目 |
若手研究
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| 配分区分 | 基金 |
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| 審査区分 |
小区分11010:代数学関連
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| 研究機関 | 東邦大学 (2022)
慶應義塾大学 (2021) |
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研究代表者 |
村上 和明 東邦大学, 理学部, 講師 (60795681)
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| 研究期間 (年度) |
2021-04-01 – 2026-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2022年度)
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| 配分額 *注記 |
2,080千円 (直接経費: 1,600千円、間接経費: 480千円)
2025年度: 390千円 (直接経費: 300千円、間接経費: 90千円)
2024年度: 260千円 (直接経費: 200千円、間接経費: 60千円)
2023年度: 520千円 (直接経費: 400千円、間接経費: 120千円)
2022年度: 260千円 (直接経費: 200千円、間接経費: 60千円)
2021年度: 650千円 (直接経費: 500千円、間接経費: 150千円)
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| キーワード | 多変数岩澤理論 / 岩澤加群 / 木田の公式 / λ-不変量 / 一般Greenberg予想 / 一般 Greenberg 予想 / Zp-拡大 / 一般グリーンバーグ予想 / イデアル類群 / 楕円曲線 / p進L関数 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
素数pに対して,岩澤理論では代数体の多重Zp-拡大という特別な無限次拡大を考える.このとき,多重Zp-拡大の中間体を束ねたものを岩澤加群と呼ぶ.岩澤理論は,岩澤加群(代数的な対象)とp-進L関数（解析的な対象）に潜む関係を研究する分野である.従来の岩澤理論では,円分Zp-拡大を中心に理論が展開されてきた.
本研究では非円分Zp-拡大に対して岩澤理論を展開する.そのために,一般Greenberg予想(GGC)の研究に取り組む.具体的には,以下の問題に取り組む.
(1) 木田の公式を用いたGGCの証明
(2) p-rationalな代数体に対するGGCの証明
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| 研究実績の概要 |
p を奇素数, k を p が分解する虚二次体とする. また, D を k の p 上の一方の素点の(k上の最大多重 Zp-拡大における)分解群とする. また,代数体 K の p-Hilbert類体がある Zp-拡大の中に含まれるとき, K を p-rationalな代数体と呼ぶことにする.
2022年度の研究成果は大きく分けて2つある.1つ目は, Zp-拡大に付随する岩澤加群の同型類に関するものである.研究代表者は p-rationalな k で, D が (有理数体からみて)正規部分群である仮定のもとで, 反円分 Zp-拡大を含む無限個に存在する非円分 Zp-拡大に付随する岩澤加群の同型類を決定した.より正確には, この条件において岩澤加群が(一変数べき級数環が作用するか加群として)巡回的であることを証明した. この結果を研究集会において発表し, 論文として投稿中である.
2つ目は, 一般 Greenberg 予想に関するものである. 研究代表者は k の円分 Zp-拡大の岩澤λ不変量が 2 かつ, D が(有理数体からみて)非正規部分群の仮定のもとで, k の最大多重 Zp-拡大に付随する(二変数べき級数環が作用する)不分岐岩澤加群の同型類を決定した.特に,この条件において一般 Greenberg 予想を解決した.また具体例として, p=3 の場合にこれまで知られていなかった Zpランクが 3 の岩澤加群を見つけることができた.
これら2つの結果は研究代表者が証明した split prime Zp-拡大の木田の公式を用いて証明することができる.この結果を研究集会において発表した. また論文として投稿準備中である.
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
当初予定していた split-prime Zp-拡大の木田の公式から弱一般 Greenberg 予想を証明することは困難な点があり, まだ解決できていない. 一方で研究代表者がこれまで条件付きで得ていた弱一般 Greenberg 予想の結果を, 仮定なしで, かつより精密化して(一般 Greenberg 予想まで)証明することができた.
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| 今後の研究の推進方策 |
引き続き, 弱一般 Greenberg 予想の解決に取り組む. また, split-prime Zp-拡大の木田の公式の証明で仮定していた p-進レオポルト予想を, この予想を使わずに証明する. その際, A.Michelの研究手法を利用する予定である. また, 2 変数 p 進 L 関数 (解析的手法) の観点から弱一般 Greenberg 予想の研究（特に零化元の特徴付け）に取り組む.
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